logo
учебное пособие / лекція 1,2

2.3. Корінь n-го степеня з дійсного числа. Арифметичний коріньn-го степеня. Правила дій із коренями

Коренем n-го степеня (n — натуральне число) з дійсного числа а називають дійсне число b, n-й степінь якого дорівнює а. Корінь n-го степеня із числа а позначають: (читають: «корінь n-го степеня з числа а»). Згідно з визначенню кореня n-го степеня маємо

якщо (1)

Розглянемо приклади.

1. Запис означає корінь третього степеня (або кубічний корінь) з числа 343. Оскільки то

2. Запис означає корінь п’ятого степеня з числа –243, оскільки

3. Числа 3 і –3 — корені четвертого степеня з числа 81, оскіль­ки і

4. Запис не має смислу, оскільки не існує такого дійсного числа, четвертий степінь якого дорівнював би –625.

Якщо n — непарне число, то вираз має сенс при будь-якому а; якщо n — парне число, то вираз має сенс при і не має сенсу при (парний степінь будь-якого дійсного числа невід’ємний).

Знаходження кореня n-го степеня з даного числа а називають добуванням кореня n-го степеня з числа а. Число а, з якого добувають корінь n-го степеня, називають підкореневим виразом, а число n — показником кореня.

Очевидно, що при всіх значеннях а, якщо має сенс вираз то згідно з (1) виконується рівність .

При відшуканні кореня n-го степеня з дійсного числа слід брати до уваги таке.

1. Корінь непарного степеня з числа а завжди існує, причому лише один; якщо а — додатне число, то існує додатне число, яке є коренем непарного степеня з числа а, якщо а — від’ємне число, то існує від’ємне число, яке є коренем непарного степеня з числа а.

2. Існують два протилежні числа, що є коренями парного степеня з додатного числа а; додатний корінь n-го степеня позначають в цьому разі Тоді протилежне йому число буде

Наприклад, корені рівняння які є протилежними числами, записують так: (додатний корінь) і (від’ємний корінь).

3. Корінь будь-якого натурального степеня n з числа нуль дорівнює нулю: оскільки

4. Корінь парного степеня з від’ємного числа в множині дійсних чисел не існує.

Для будь-якого невід’ємного дійсного числа і будь-якого натурального n (як парного, так і непарного) вираз завжди має сенс і позначає невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а. Невід’ємний корінь n-го степеня з невід’ємного числа а називають арифметичним коренем n-го степеня .

Іншими словами, невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює невід’ємному числу а, називають арифметичним коренем n-го степеня з числа а.

Можна довести, що арифметичний корінь з невід’ємного числа завжди існує і єдиний.

З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає: вираз може мати сенс лише при вираз може набувати лише невід’ємного значення; при будь-якому невід’ємному значенні а правильна рівність

. (2)

Корінь непарного степеня з від’ємного числа можна виразити через арифметичний корінь того самого степеня з числа, протилежного даному, тобто якщо і де — натураль­не число, то

(3)

Зауваження 1. Надалі запис означатиме лише арифметичний коріньn-го степеня з невід’ємного числа а.

Зауваження 2. Якщо то показник кореня не пишеться. Наприклад, замістьпишутьі читають: «корінь квадратний із 7».

Арифметичний корінь n-го степеня має властивості, які подаються такими теоремами.

Теорема. Якщо і n — натуральне число, то

Теорема. Якщо і то

(4)

тобто при будь-якому натуральному n корінь степеня n з дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню степеня n з чисельника, діленому на корінь того самого степеня зі знаменника.

Теорема. Якщо і — натуральні числа, то

(5)

Теорема. Якщо і — натуральні числа, то

(6)

Іншими словами, для того щоб піднести арифметичний корінь степеня n до натурального степеня k, достатньо піднести до степеня k підкореневий вираз і зі здобутого результату добути корінь степеня n.

Таким чином, формули (4)—(6) визначають відповідно правила ділення коренів, добування кореня та піднесення кореня до степеня.

Зауваження. Якщо а — невід’ємне число і n — натуральне число, то виконується тотожність

(7)

Справді, згідно з означенням арифметичного кореня n-го степеня а згідно з попередньою теоремою 2.5 Отже,

Теорема. При будь-якому значенні а справджується тотожність

(8)

де k — натуральне число.

Теорема. Якщо — натуральні числа, то

(9)

Цю властивість іноді називають основною властивістю кореня.

Користуючись цією властивістю, корені з різними показниками завжди можна звести до одного й того самого показника.

Зведемо, наприклад, до одного й того самого показника корені та Згідно з формулою (9) дані корені можна звести до найменшого спільного показника, що дорівнює 6:

Теорема. Якщо і — натуральні числа, причому ділиться на то

(10)

тобто щоб добути корінь зі степеня невід’ємного числа, показник якого ділиться на показник кореня, достатньо показник підкореневого виразу поділити на показник кореня, залишивши основу степеня незмінною.

Приклад. Знайти значення виразу

Приклад. Спростити вираз якщо

Приклад. Спростити вираз при

Приклад. Добути корінь якщо

Теорема. Якщо і — невід’ємні числа, — натуральне число, то

(11)

Перетворення кореня за формулою (11) називають внесенням множника під знак кореня.

Нехай дано вираз Якщо і то цей вираз мож­на записати у вигляді Таке перетворення називають винесенням множника з-під знака кореня.

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі де

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі

Приклад. Винести множник з-під знака кореня у виразі

Приклад. Винести множник з-під знака кореня у виразі

Наведемо ще одну властивість арифметичного кореня: якщо то

Справді, припустивши, що і піднесши обидві частини нерівності до n-го степеня, дістаємо що суперечить умові

Правильне й обернене твердження: якщо то