1.2. Цілі числа

Натуральні числа можна зображувати точками на прямій лінії. Щоб визначити положення точки на прямій відносно деякої фіксованої точки О (початок відліку), недостатньо знати її відстань від точки О, необхідно ще вказати, по який бік від початку відліку вона міститься. Здебільшого таку пряму розміщують горизонтально і при цьому напрям праворуч від точки О вважають додатним, а ліворуч — від’ємним. Додатний напрям на прямій позначають стрілкою. Звичайно замість того, щоб писати слова «праворуч» і «ліворуч», записують по один бік від точки О числа 1, 2, 3, …, а по другий її бік — числа зі знаком «мінус»: –1, –2, –3, … (див. рисунок). Числа 1, 2, 3, … називають додатними, числа –1, –2, –3 — від’ємними. Число 0 відокремлює на прямій додатні числа від від’ємних. Його позначають як точку О — початок відліку. Саме число 0 не є ані додатним, ані від’ємним. Усі цілі додатні числа і число 0 називаються невід’ємними числа.

Число, що задає положення точки на прямій, називають координатою цієї точки. Пряму лінію з вибраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і додатним напрямом називають координатною прямою.

Точки з координатами 5 і –5 (див. рисунок) однаково віддалені від точки О, містяться по різні боки від неї і симетричні відносно цієї точки. Щоб потрапити з точки О в ці точки, потрібно відкласти від точки О відрізки завдовжки 5 одиниць у протилежних напрямах. Унаслідок цього числа 5 і –5 називаються протилежними. Для кожного числа існує одне протилежне йому число. Число 0 протилежне саме собі. Два протилежні числа зображуються на координатній прямій точками, симетричними відносно початку відліку.

Число, протилежне числу позначають Натуральні чис­ла, протилежні їм числа і нуль називають цілими числами. Множину всіх цілих чисел позначають

Модулем числа називають невід’ємне число що визначається за формулою:

Введення від’ємних чисел робить виконуваною дію віднімання з цілими числами (різниця має зміст при ).

Арифметичні дії з цілими числами виконуються за правилами, наведеними далі.

1. Щоб додати два від’ємних числа, потрібно додати їхні модулі і перед здобутим числом поставити знак «мінус». Наприклад, (–17) + (–8) = –(17 + 8) = –25.

2. Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно від біль­шого модуля відняти менший і поставити перед здобутим числом знак того доданка, модуль якого більший.

Наприклад,

Зауважимо, що сума двох протилежних чисел дорівнює нулю. Наприклад,

3. Щоб додати кілька чисел, серед яких є додатні і від’ємні, потрібно додати окремо додатні і окремо від’ємні, а потім до суми додатних чисел додати суму від’ємних чисел. Наприклад,

4. Щоб від одного числа відняти інше, потрібно до зменшуваного додати число, протилежне від’ємнику. Наприклад,

Будь-який вираз, що містить лише знаки додавання і віднімання, можна розглядати як суму. Наприклад, вираз можна розглядати як суму трьох доданків: і –1;

Різниця двох чисел додатна, якщо зменшуване більше за від’ємник, і від’ємна, якщо зменшуване менше за від’ємник. Різниця дорівнює нулю, якщо зменшуване і від’ємник рівні між собою.

5. Щоб перемножити два числа з різними знаками, потрібно перемножити модулі цих чисел і перед здобутим числом поставити «мінус». Наприклад,

Зі зміною знака будь-якого множника знак добутку змінюється, а модуль його залишається тим самим. Якщо ж змінюються знаки обох множників, то знак добутку і його модуль не змінюються (тут добуток змінює знак двічі):

6. Щоб перемножити два від’ємні числа, потрібно перемножити їхні модулі. Добуток двох від’ємних чисел є число додатне. Наприклад,

7. Щоб поділити від’ємне число на від’ємне, потрібно поділити модуль діленого на модуль дільника. Частка двох від’ємних чисел є число додатне. Наприклад,

8. Щоб поділити два числа з різними знаками, потрібно поділити модуль діленого на модуль дільника і перед здобутим числом поставити «мінус». Наприклад,

При діленні нуля на будь-яке число, що не дорівнює нулю, дістаємо нуль.