Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
Дано: : Ax + By + Cz + D = 0
M1(x1,y1,z1)
Найти: d(M1,) – расстояние от точки до плоскости.
Рассмотрим M0M = |n||M0M|cos(0,) = |n|d1
d =
M0M1 = (A,B,C) (x1-x0,y1-y0,z1-zo) = A(x1-x0) + B(y1 – y0) + C(z1 – z0) = Ax1 + By1 + Cz1 – Ax0 –By0 –Cz0
Т.к. М0 =>
=> Ax0 –By0 –Cz0 = D
=> M0M1 = Ax1 + By1 + Cz1 +D
A2+B2+C2
d =
для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно координаты точки подставить в ур-е плоскости, взять модуль полученного числа и разделить на длину нормального вектора.
Под углом между двумя плоскостями понимают двугранный угол, образованный этими плоскостями.
N1,N2-нормальные векторы плоскости.
P :A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
PQ{A1,B1,C1}
QN2{A2,B2,C2}
1)Пусть PQ<=>N1N2
A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендикулярности PQ.
2) Пусть PQ<=> N1N2
A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие параллельности 2х плоскостей.
A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- Условие совпадения 2х плоскостей.
- Матрицы. Линейные операции над матрицами.
- Умножение матриц.
- Свойства определителей
- Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
- Обратная матрица.
- Ранг матрицы. Вычисление ранга.
- Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
- Векторы. Линейные операции над векторами.
- Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
- Деление отрезка в данном отношении
- Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
- Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
- Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
- Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
- Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
- Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- Общее уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
- Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- Угол между прямыми на плоскости.
- 32. Предел последовательности и его свойства.
- Число е.
- Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
- Теоремы о пределах функции.
- Первый замечательный предел.
- Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
- Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
- Свойства непрерывных функций.
- Производная. Геометрический и механический смысл производной.
- Дифференцирование суммы(разности) функций.
- Дифференцирование произведения функций.
- Дифференцирование частного двух функций.
- Производная сложной и обратной функции.
- Логарифмическое дифференцирование и его применение.
- Производная функции, заданной параметрически.
- Дифференциал. Инвариантность формы.
- Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
- Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
- Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
- Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- Ассимптоты графика функции.
- Формула тейлора.