Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума(минимума) если существует окрестность О(х0) такая, что f(x)<=f(x0) (f(x)>=f(x0)) при всех х О(х0)
Значение f(x0) – локальный максимум(минимум). Точки локальных максимумов(минимумов) называются экстремумами функций.
Необходимое условие существования экстремума.
Если в точке х0 f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна 0 (или не существует).
Дано: в точке х0 f(x) имеет локальный максимум.
Доказать: в этой точке f’(x)=0 или не существует
Доказательство.
Если в точке х0 – локальный максимум, то существует О(х0) , что f(x)<=f(x0) для всех х О(х0).
Выберем х так чтобы х0+х О(х0).
Тогда у=f(х0+х)-f(х0) <= 0при любом х.
Тогда f’(x0) = limx->0y/x
Если x>0, то limx->0+0y/x = f’(x0+0)<=0
Если x<0, то limx->0-0y/x = f’(x0-0)>=0
Если производная существует, то это возможно, когда f’(x0+0)= f’(x0-0)
f’(x0)=0
если эти односторонние пределы отличны от 0, то производная не существует.
Точки, в которых производная не существует – критические точки.
Критические точки, в которых производная равна - - стационарные точки.
Критические точки называются точками, подозрительными на экстремум. Это условие явл необходимым, но не достаточным.
-
Содержание
- Матрицы. Линейные операции над матрицами.
- Умножение матриц.
- Свойства определителей
- Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
- Обратная матрица.
- Ранг матрицы. Вычисление ранга.
- Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
- Векторы. Линейные операции над векторами.
- Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
- Деление отрезка в данном отношении
- Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
- Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
- Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
- Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
- Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
- Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- Общее уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
- Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- Угол между прямыми на плоскости.
- 32. Предел последовательности и его свойства.
- Число е.
- Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
- Теоремы о пределах функции.
- Первый замечательный предел.
- Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
- Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
- Свойства непрерывных функций.
- Производная. Геометрический и механический смысл производной.
- Дифференцирование суммы(разности) функций.
- Дифференцирование произведения функций.
- Дифференцирование частного двух функций.
- Производная сложной и обратной функции.
- Логарифмическое дифференцирование и его применение.
- Производная функции, заданной параметрически.
- Дифференциал. Инвариантность формы.
- Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
- Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
- Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
- Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- Ассимптоты графика функции.
- Формула тейлора.