Ранг матрицы. Вычисление ранга.

Пусть А_mxn – произвольная мтарица.

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от 0.

r(A) , r_A

1. 0<= r(A) <= min(m,n)

2. r(A)=0  A=0_mxn

3. r(A_n) = n  detA 0

всякий ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором, а строки и столбцы, в которых он расположен, называются базисными

вычисление ранга при помощи элементарных преобразований

к элементарным преобразованиям матриц относятся:

1. перестановка местами любых 2х строк (столбцов)

2. умножение любой строки (столбца) на любое число, отличное от нуля

3. прибавление к одной строке (столбцу) любой другой строки (столбца), умноженной на любое число

4. вычеркивание нулевой строки (столбца)

теорема: элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Поэтому ранг вычисляется приведением матрицы к треугольному или трапециевидному виду (при помощи элементарных преобразований)

Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы.

Пусть даны k+1 строка матрицы A,A₁,A₂...A_k

Говорят, что строка А является линейной комбинацией строк A,A₁,A₂...A_k если сущестуют числа x₁, x₂...x_k  R такие, что A = x₁A₁+x₂A₂+...+x_kA_k

Определение: система строк A,A₁,A₂...A_k матрицы называется линейно-зависимой если хотя бы одна строка является линейной комбинацией остальных. Две строки линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны т.е. А₁=хА₂. В противном случае строки называются линейно независимыми.

Теорема: ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

7. Содержание

   • Матрицы. Линейные операции над матрицами.
   • Умножение матриц.
   • Свойства определителей
   • Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
   • Обратная матрица.
   • Ранг матрицы. Вычисление ранга.
   • Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
   • Векторы. Линейные операции над векторами.
   • Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
   • Скалярное произведение векторов
   • Векторное произведение векторов
   • Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
   • Деление отрезка в данном отношении
   • Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
   • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
   • Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
   • Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
   • Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
   • Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
   • Расстояние от точки до прямой в пространстве.
   • Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
   • Общее уравнение прямой на плоскости
   • Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
   • Расстояние от точки до прямой на плоскости.
   • Угол между прямыми на плоскости.
   • 32. Предел последовательности и его свойства.
   • Число е.
   • Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
   • Теоремы о пределах функции.
   • Первый замечательный предел.
   • Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
   • Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
   • Свойства непрерывных функций.
   • Производная. Геометрический и механический смысл производной.
   • Дифференцирование суммы(разности) функций.
   • Дифференцирование произведения функций.
   • Дифференцирование частного двух функций.
   • Производная сложной и обратной функции.
   • Логарифмическое дифференцирование и его применение.
   • Производная функции, заданной параметрически.
   • Дифференциал. Инвариантность формы.
   • Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
   • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
   • Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
   • Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
   • Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
   • Ассимптоты графика функции.
   • Формула тейлора.