32. Предел последовательности и его свойства.

Определение. Пусть (x_n) = {x₁,x₂,x₃...x_n} –некоторая числовая последовательность.

Говорят, что число а является пределом последовательности, если для любого >0 существует N=N() такой, что при всех n>N выполняется |x_n-a|<

В этом случае этот факт записывают = a

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Определение. Говорят, что последовательность имеет своим пределом +(-_ и пишут = + ( = -) если для любого числа Е>0 существует N=N(E) – такой номер, что при всех n>N выполняется x_n>E (x_n<-E)

Последовательность x_n называется ограниченной, если существует M>0 такое что |x_n|<M при всех nN.

Теорема 1.

1. Любая окрестность предела последовательности содержит все члены последовательности, за исключением конечного их числа.

2. Последовательность не может иметь двух раздичных пределов.

3. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 2.

Пусть =А =B

Тогда:

1. +y_n) = A+B

2. y_n = AB

3. /y_n = A/B если В0

Последовательность x_n – убывающая, если x_n> x_n+1 при всех nN. И невозрастающая, если x_n>= x_n+1 при всех nN. Возрастающая x_n< x_n+1. Неубывающая x_n<= x_n+1

Убывающая, невозрастающая, возрастающая, неубывающая последовательности называются монотонными.

Теорема. Любая ограниченная монотонная последовательность сходится (имеет предел).

33. Содержание

    • Матрицы. Линейные операции над матрицами.
    • Умножение матриц.
    • Свойства определителей
    • Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
    • Обратная матрица.
    • Ранг матрицы. Вычисление ранга.
    • Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
    • Векторы. Линейные операции над векторами.
    • Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
    • Скалярное произведение векторов
    • Векторное произведение векторов
    • Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
    • Деление отрезка в данном отношении
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
    • Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
    • Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
    • Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
    • Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
    • Расстояние от точки до прямой в пространстве.
    • Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
    • Общее уравнение прямой на плоскости
    • Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
    • Расстояние от точки до прямой на плоскости.
    • Угол между прямыми на плоскости.
    • 32. Предел последовательности и его свойства.
    • Число е.
    • Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
    • Теоремы о пределах функции.
    • Первый замечательный предел.
    • Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
    • Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
    • Свойства непрерывных функций.
    • Производная. Геометрический и механический смысл производной.
    • Дифференцирование суммы(разности) функций.
    • Дифференцирование произведения функций.
    • Дифференцирование частного двух функций.
    • Производная сложной и обратной функции.
    • Логарифмическое дифференцирование и его применение.
    • Производная функции, заданной параметрически.
    • Дифференциал. Инвариантность формы.
    • Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
    • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
    • Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
    • Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
    • Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
    • Ассимптоты графика функции.
    • Формула тейлора.