Обратная матрица.

Понятние обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

Определение. Пусть а – квадратная матрица. Матрицей, обратной А, называется матрица, обозначаемая А^-1, такая что АА^-1 = А^-1А = Е, где Е – единичная матрица.

Квадаратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной – в противном случае.

Теорема: для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Доказательство. Есть А^-1  detA0

Необходимость. У А есть А^-1

Надо доказать что detA0

Т.к. АА^-1 = Е => det(AA^-1) = detE => detAdetA^-1 = detE. Т.е. detAdetA^-1=1 =>detA0

Достаточность. Дано: detA0. Надо доказать что существует А^-1

Схема построения обратной матрицы.

1. Находим detA=d0

2. Находим все алгебраические дополнения A_ij

3. Строим матрицу А^с = (A_ij)^T

4. A^-1 = (1/detA)A^c

Если обратная матрица существует, то она единственная. Действительно. A, detA0 и пусть B, C – две обратные к А.

Рассмотрим. BAC = (BA)C = EC = C => B=C

B(AC) = BE = B

Понятие обратной матрицы позволяет решать т.н. матричные ур-я вида АХ = В, где А, В – заданные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Действительно. Если |A|0 , то есть A^-1 умножим: A^-1(AX) = A^-1B => X=A^-1B

Аналогично: XA = B, X=BA^-1

Или: AXB = C => X = A^-1CB^-1