Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк одинаковой длины и n-столбцов одинаковой длины. Матрица записывается в виде:

где a_ij R 1  i  m 1  j  n

Обозначают матрицу А, В, С, или сокращают. A_3x2 B_mxn A = (a_ij)_3x4

Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы и обозначают . a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Матрицы называются равными, если они одинаковых размеров, и на одинаковыъ позициях стоят одинаковые элементы.

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается 0_mxn.

Матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n, называется квадратной. Квадратную матрицу размера mxn называют матрицей n-ого порядка. A_n

Элементы квадратной матрицы, у которой номер столбца равен номеру строки, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, называется скалярной. Скалярная матрица, у которой на диагонали стоят единицы, называется единичной матрицей. E = E_n

Если в квадратной матрице все элементы, лежащие ниже или выше главной диагонали равны нулю, то такая матрица называется треугольной. a_ij=0, i>j верхняя треугольная

a_ij=0, i<j нижняя треугольная

Линейные операции над матрицами – сложение, умножение на число.

Сложение матриц. Вводится только для матриц одинаковых размеров. Определение. Пусть A = (a_ij)_mxn B = (b_ij)_mxn – 2 матрицы одинаковых размеров. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица, обозначаемая A+B такая, что (A+B)_mxn = (a_ij+b_ij)_mxn . таким образом, сложение матриц осуществляется покомпонентно.

Умножение матрицы на число. Определение. Пусть A = (a_ij)_mxn и αR. Произведением матрицы A на число называется матрица, обозначаемая αА, такая, что (αА)_mxn = (αa_ij)_mxn.. т.е. каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число. Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

Матрица равная – А = (-1)А называется противоположной матрице А. Разность матрицы можно определить как А-В=А+(-В)

Свойства:

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. А-А=А+(-А)=О

4. 0А=О

5. 1А=А

6. α(А+В)=αА+αВ

7. (α+β)А=αА+βА

8. α(βА)=(αβ)А

2. Содержание

   • Матрицы. Линейные операции над матрицами.
   • Умножение матриц.
   • Свойства определителей
   • Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
   • Обратная матрица.
   • Ранг матрицы. Вычисление ранга.
   • Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
   • Векторы. Линейные операции над векторами.
   • Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
   • Скалярное произведение векторов
   • Векторное произведение векторов
   • Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
   • Деление отрезка в данном отношении
   • Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
   • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
   • Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
   • Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
   • Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
   • Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
   • Расстояние от точки до прямой в пространстве.
   • Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
   • Общее уравнение прямой на плоскости
   • Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
   • Расстояние от точки до прямой на плоскости.
   • Угол между прямыми на плоскости.
   • 32. Предел последовательности и его свойства.
   • Число е.
   • Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
   • Теоремы о пределах функции.
   • Первый замечательный предел.
   • Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
   • Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
   • Свойства непрерывных функций.
   • Производная. Геометрический и механический смысл производной.
   • Дифференцирование суммы(разности) функций.
   • Дифференцирование произведения функций.
   • Дифференцирование частного двух функций.
   • Производная сложной и обратной функции.
   • Логарифмическое дифференцирование и его применение.
   • Производная функции, заданной параметрически.
   • Дифференциал. Инвариантность формы.
   • Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
   • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
   • Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
   • Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
   • Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
   • Ассимптоты графика функции.
   • Формула тейлора.