Производная. Геометрический и механический смысл производной.
Пусть ф-я y=f(x) непрерывна в некоторой O(x0). x – приращение аргумента в точке x0 .
Вычислим f(x0) и f(x0+x)
Величина y = f(x0) = f(x0+x) – f(x0) называется приращением ф-ии в точке x0 , вызванное приращением x. Разделим
Это будет средняя скорость изменения функции за . Возьмем предел.
при x - мгновенная скорость изменения ф-ии f(x) в момент x0 (в точке x0 )
Если этот предел существует и конечен, то он называется производной ф-ии f(x) в точке x0 и обозначается y’(x0), f’(x0). Эту процедуру можно проделать для любой фиксированной точки x.
Определение. Производной ф-ии y=f(x) в произвольной фиксированной точке х называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения ф-ии y в точке х к вызвавшему его приращению аргумента x. Тогда x произвольным образом стремится к 0. Т.е.
y’(x) =
поскольку х может быть любым, что y’(x) – тоже ф-я от этого х. Если y’(x0) = ±, то говорят, что в этой точке ф-я имеет бесконечную производную.
Операция нахождения производной называется дифференцированием ф-ии. Если в точке х0 ф-я имеет производную, то она называется дифференцируемой в точке х0 или гладкой.
По теореме о пределах существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела.
Механический смысл производной.
Производная является можелью скорости протекания механических или физичесих процессо, в частности.
S=S(t) – расстояние от 0 в момент времени t.
S’(t) = = v(t) – скорость в момент времени t.
v=v(t) - скорость в момент времени t
v’(t) = = a(t) – ускорение в момент времени t.
Рассмторим неоднородный стержень.
m=m(x) – масса отрезка [0,x]
m’(x) = = = (x) – линейная плотность в точке x.
Геометрический смысл производной.
= BC/AC = tg
Если x , то точка В стремится к точке А и , а прямая l L – касательная к графику f(x) в точке х0.
Поэтому y’(x0) = = = tg, где - угол между касательной L и осью Ox.
y’(x0) = k, k – угловой коэффициент касательной L к графику ф-ии в точке х0.
Поэтому если M0(x0,y(x0)) – точка графика ф-ии y=f(x) с абсциссой x0, то ур-е касательной, проведенной к графику ф-ии в точке (x0,y(x0)) –
y – y0 = y’(x0)(x-x0) или y = y0 + y’(x0)(x-x0)
нормалью привой в заданной точке называется прямая, проходящая через заданную точку перпендикулярно касательной. Поэтому ур-е нормали к графику ф-ии в заданной точке
y – y0 = - (x-x0) или y = y0 - (x-x0)
- Матрицы. Линейные операции над матрицами.
- Умножение матриц.
- Свойства определителей
- Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
- Обратная матрица.
- Ранг матрицы. Вычисление ранга.
- Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
- Векторы. Линейные операции над векторами.
- Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
- Деление отрезка в данном отношении
- Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
- Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
- Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
- Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
- Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
- Расстояние от точки до прямой в пространстве.
- Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- Общее уравнение прямой на плоскости
- Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
- Расстояние от точки до прямой на плоскости.
- Угол между прямыми на плоскости.
- 32. Предел последовательности и его свойства.
- Число е.
- Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
- Теоремы о пределах функции.
- Первый замечательный предел.
- Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
- Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
- Свойства непрерывных функций.
- Производная. Геометрический и механический смысл производной.
- Дифференцирование суммы(разности) функций.
- Дифференцирование произведения функций.
- Дифференцирование частного двух функций.
- Производная сложной и обратной функции.
- Логарифмическое дифференцирование и его применение.
- Производная функции, заданной параметрически.
- Дифференциал. Инвариантность формы.
- Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
- Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
- Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
- Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
- Ассимптоты графика функции.
- Формула тейлора.