§4.1.8. Ортогональный линейный оператор

Если , то будем говорить, что линейный операторсохраняет скалярное произведение векторова иb, а если, то будем говорить, что линейный операторсохраняет скалярный квадрат вектораа. Линейный оператор называетсяортогональным, если сохраняет скалярный квадрат любого вектора из евклидова пространства.

Теорема. Линейный операторортогонален тогда и только тогда, когда сохраняет скалярное произведение для любой пары векторов евклидова пространства.

Доказательство. Дано:. Тогда

.

С другой стороны,

■

Теорема. Матрица ортогонального линейного оператора в ортонормированном базисе ортогональна.

Доказательство.Пусть– ортонормированный базисЕ.Каждый элементможно записать в виде линейной комбинации векторов базиса

С одной стороны в силу того, что линейный операторортогональный и базис ортонормированный. С другой стороны, если это же скалярное произведение запишем в координатной форме, то получим, а это означает, что матрица ортогональна. ■

Теорема. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисе ортогональна, то линейный оператор ортогонален.

Доказательство. Дано:

На базисных векторах линейный оператор ведет себя как ортогональный. Следовательно, (для любых вектороваиbизЕ. Это означает, что– ортогональный линейный оператор. ■