Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
Теорема:
Рассмотрим систему (1). Пусть A – постоянная матрица с действительными коэффициентами, размера . А – n-мерная действительная вектор-функция, непрерывная по y в полуцилиндре: , причем – не зависит от x, где при .
Далее, пусть , где – собственное значение матрицы A (некоторые могут совпадать), . Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.
Доказательство:
◄ Мы сведем эту теорему к проверке выполнимости условия леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
По лемме: существует матрица T с условием : матрица будет иметь вид:
,
где – собственное значение матрицы A (некоторые могут совпадать), а
(a – из условия теоремы). Положим , подставим в (1):
(2).
Положим: , . Выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости:
1) – верно,
2) , ,
Осталось проверить условие:
3) .
Заметим, что
1) ,
2) , .
Проверку условия 3) проведем в 3 этапа.
Сделаем некоторые оценки.
Пусть
, ,
тогда
Аналогично .
(3)
Запишем подробно систему (2):
Пусть – решение системы (1), а – решение системы (2), тогда
Оценим каждое .
.
.
при достаточно малых , так как при (то есть , ).
Возьмем произвольную точку из полуцилиндра , поскольку через эту точку проходят интегральная линия (по теореме о решения задачи Коши), то в этой точке будет
+ = ,
.
То есть выполняется условие леммы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Следовательно нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. ►
- 2 Семестр.
- Лектор: Сухинин м. Ф.
- Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- Лемма Арцелы (критерий компактности).
- Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- Лемма о равномерной непрерывности.
- Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- 2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- Лемма Адамара.
- Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- Существование полной системы первых интегралов
- Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- По условию 4),
- Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.