[Править] Уровень значимости и мощность.

При проверке статистической гипотезы возможны ошибки. Есть два рода ошибок. Ошибка первого рода заключается в том, что отвергают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза верна. Ошибка второго рода состоит в том, что принимают нулевую гипотезу, в то время как в действительности эта гипотеза неверна.

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается α. Таким образом, , то есть уровень значимости α — это вероятность события, вычисленная в предположении, что верна нулевая гипотезаH₀.

Уровень значимости однозначно определен, если H₀— простая гипотеза. Если жеH₀— сложная гипотеза, то уровень значимости, вообще говоря, зависит от функции распределения результатов наблюдений, удовлетворяющейH₀. Статистику критерияUобычно строят так, чтобы вероятность событияне зависела от того, какое именно распределение (из удовлетворяющих нулевой гипотезеH₀) имеют результаты наблюдений. Для статистик критерияUобщего вида под уровнем значимости понимают максимально возможную ошибку первого рода. Максимум (точнее, супремум) берется по всем возможным распределениям, удовлетворяющим нулевой гипотезеH₀, то есть.

Если критическая область имеет вид, указанный в формуле (9), то

. (10)

Если Cзадано, то из последнего соотношения определяют α. Часто поступают по иному — задавая α (обычно α = 0,05, иногда α = 0,01 или α = 0,1, другие значения α используются гораздо реже), определяютCиз уравнения (10), обозначая егоC_α, и используют критическую областьс заданным уровнем значимости α.

Вероятность ошибки второго рода есть . Обычно используют не эту вероятность, а ее дополнение до 1, то есть. Эта величина носит название мощности критерия. Итак, мощность критерия — это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, когда альтернативная гипотеза верна.

Понятия уровня значимости и мощности критерия объединяются в понятии функции мощности критерия — функции, определяющей вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута. Функция мощности зависит от критической области Ψ и действительного распределения результатов наблюдений. В параметрической задаче проверки гипотез распределение результатов наблюдений задается параметром θ. В этом случае функция мощности обозначается M(Ψ,θ) и зависит от критической области Ψ и действительного значения исследуемого параметра θ. Если

, ,

то

, ,

где α — вероятность ошибки первого рода, β — вероятность ошибки второго рода. В статистическом приемочном контроле α — риск изготовителя, β — риск потребителя. При статистическом регулировании технологического процесса α — риск излишней наладки, β — риск незамеченной разладки.

Функция мощности M(Ψ,θ) в случае одномерного параметра θ обычно достигает минимума, равного α, при θ = θ₀, монотонно возрастает при удалении от θ₀и приближается к 1 при.

В ряде вероятностно-статистических методов принятия решений используется оперативная характеристика L(Ψ,θ) — вероятность принятия нулевой гипотезы в зависимости от критической области Ψ и действительного значения исследуемого параметра θ. Ясно, что

.