3. Критерий согласия для сложных гипотез

На практике задача о согласии данных наблюдений с некоторым совершенно конкретным распределением, рассмотренная в  9.2, встречается реже, чем задача проверки сложной гипотезы, которую мы рассматриваем ниже. Итак, рассмотрим независимую выборку, соответствующую неизвестной функции распределения. Поставим вопрос о том, согласуются ли данные наблюденийсо сложной гипотезой

где -- (вообще говоря) многомерный параметр. В эту формальную схему можно включить, например, рассмотрение гипотезы о принадлежности к классу показательных распределений (без уточнения параметра показательного распределения) и т. п.

Группируя данные аналогично 9.2и вычисляяпо функции распределения, обнаруживаем, что теперь эти вероятности являются функциями от неизвестного параметра:

Это обстоятельство делает невозможным непосредственное воспроизведение метода  9.2, так как, если бы мы подставили эти вероятности в (51), то мы бы получили совершенно непригодную с практической точки зрения функцию: ведь для ее вычисления, кроме полученных в эксперименте данных  , требовалось бы также знать сами неизвестные параметры. Чтобы выйти из положения, следует подставить ввместо параметраего оценку, вычисленную по выборке. Это можно сделать разными способами, но мы остановимся на одном из них.

Пусть числа ,, вычислены по выборке согласно формуле (50). Запишем следующую функцию правдоподобия

Находя значение , при котором эта функция максимальна, получим оценку наибольшего правдоподобия. Особо отметим, что для ее вычисления достаточно знать только. По аналогии с (51) определим

Справедлив следующий вариант теоремы Пирсона⁵: Предположим, что гипотеза верна. Тогда прираспределение величины, определяемой по формуле(53), сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы.

Заметим, что по сравнению с теоремой из  9.2за замену-мерного неизвестного параметра его оценкой нам пришлось ``заплатить''степенями свободы в предельном распределении хи-квадрат.

В дальнейшем, фиксируя   и выбирая критическое множество

получим искомый критерий уровня значимости   для проверки сложной гипотезы.

Все примечания относительности применимости этого критерия, сделанные в  9.2, разумеется, остаются в силе.

Замечание 9.1  

То обстоятельство, что оценка , которую мы используем в определении (53), зависит от выборки только через значения, является важным для утверждения сформулированной выше теоремы. Как показано в книге [13, § 10.6], замена параметрапроизвольной его оценкой по выборкеприводит к тому, чтобольше не является удовлетворительной аппроксимацией для.