[Править] Задачи одномерной статистики (статистики случайных величин)

Сравнение математических ожиданий проводят в тех случаях, когда требуется установить соответствие показателей качества изготовленной продукции и эталонного образца. Это — задача проверки гипотезы:

,

где m₀— значение соответствующее эталонному образцу;X— случайная величина, моделирующая результаты наблюдений. В зависимости от формулировки вероятностной модели ситуации и альтернативной гипотезы сравнение математических ожиданий проводят либо параметрическими, либо непараметрическими методами.

Сравнение дисперсий проводят тогда, когда требуется установить отличие рассеивания показателя качества от номинального. Для этого проверяют гипотезу:

.

Ряд иных постановок задач одномерной статистики приведен ниже. Не меньшее значение, чем задачи проверки гипотез, имеют задачи оценивания параметров. Они, как и задачи проверки гипотез, в зависимости от используемой вероятностной модели ситуации делятся на параметрические и непараметрические.

В параметрических задачах оценивания принимают вероятностную модель, согласно которой результаты наблюдений x₁,x₂,...,x_nрассматривают как реализации n независимых случайных величин с функцией распределенияF(x;θ). Здесь θ — неизвестный параметр, лежащий в пространстве параметров Θ заданном используемой вероятностной моделью. Задача оценивания состоит в определении точечной оценок и доверительных границ (либо доверительной области) для параметра θ.

Параметр θ — либо число, либо вектор фиксированной конечной размерности. Так, для нормального распределения θ = (m,σ²) — двумерный вектор, для биномиального θ =p— число, для гамма-распределения θ = (a,b,c) — трехмерный вектор, и так далее.

В современной математической статистике разработан ряд общих методов определения оценок и доверительных границ — метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод одношаговых оценок, метод устойчивых (робастных) оценок, метод несмещенных оценок и др. Кратко рассмотрим первые три из них. Теоретические основы различных методов оценивания и полученные с их помощью конкретные правила определения оценок и доверительных границ для тех или иных параметрических семейств распределений рассмотрены в специальной литературе, включены в нормативно-техническую и инструктивно-методическую документацию.

Метод моментов основан на использовании выражений для моментов рассматриваемых случайных величин через параметры их функций распределения. Оценки метода моментов получают, подставляя выборочные моменты вместо теоретических в функции, выражающие параметры через моменты.

В методе максимального правдоподобия, разработанном в основном Р. А. Фишером, в качестве оценки параметра θ берут значение θ ^*, для которого максимальна так называемая функция правдоподобия

,

где x₁,x₂,...,x_n— результаты наблюдений;f(x,θ) — их плотность распределения, зависящая от параметра θ, который нужно оценить.

Оценки максимального правдоподобия, как правило, эффективны (или асимптотически эффективны) и имеют меньшую дисперсию, чем оценки метода моментов. В отдельных случаях формулы для них выписываются явно (нормальное распределение, экспоненциальное распределение без сдвига). Однако чаще для их нахождения надо численно решать систему трансцендентных уравнений (распределения Вейбулла-Гнеденко, гамма). В подобных случаях целесообразно использовать не оценки максимального правдоподобия, а другие виды оценок, прежде всего одношаговые оценки. В литературе их иногда не вполне точно называют «приближенные оценки максимального правдоподобия». При достаточно больших объемах выборок они имеют столь же хорошие свойства, как и оценки максимального правдоподобия. Поэтому их следует рассматривать не как «приближенные», а как оценки, полученные по другому методу, не менее обоснованному и эффективному, чем метод максимального правдоподобия. Одношаговые оценки вычисляют по явным формулам (^[17]).

В непараметрических задачах оценивания принимают вероятностную модель, в которой результаты наблюдений x₁,x₂,...,x_nрассматривают как реализации n независимых случайных величин с функцией распределенияF(x) общего вида. ОтF(x) требуют лишь выполнения некоторых условий типа непрерывности, существования математического ожидания и дисперсии и т. п. Подобные условия не являются столь жесткими, как условие принадлежности к определенному параметрическому семейству.