Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.

Смешанным произведением 3х векторов a,b,c называется число [a,b]c , полученное скалярным умножением векторного произведения [a,b] на третий вектор с. обозначается abc = (a,b,c) = [a,b]c

Пусть {a,b,c} – правая тройка.

Тогда abc = [a,b]c = |[a,b]||c|cos  - угол между [a,b] и c

abc = Sпараллелограмма|c|cos = Sпараллелограмма H = V паралелипипеда, построенного на этиъ векторах.

Если {a,b,c} – левая тройка, то abc = -V

Свойства:

1. a[b,c] = [a,b]c

2. abc = cab = bca = -bac = -cab = -acb

3. (a₁ + a₂)bc = a₁bc + a₂bc

4. (a)bc = a(b)c = ab(c) = abc

Вычисление смешанного произведения

Пусть a(a_x, a_y, a_z) b(b_x, b_y, b_z) c(c_x, c_y, c_z) abc - ?

abc = [a,b]c = ( , - , )(c_x, c_y, c_z) = c_x - c_y + c_z =

=

Т.е. abc = [a,b]c =

Формулировка: для того, чтобы 3 вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Необходимость: дано: 3 вектора компланарны, доказать: abc = 0

Если a,b,c компланарны, то [a,b]c => abc = [a,b]c = 0

Достаточность. Дано: abc = 0, доказать: a,b,c – компланарны.

0 = abc = [a,b]c = |[a,b]||c|cos = |a||b|sin|c|soc = 0

1. |a| или |b| или |c| равны 0 => среди векторов есть нулевой вектор => a,b,c компланарны

2. sin = 0 => a||b => a,b,c компланарны

3. cos=0 => c^[a,b] = /2 => с принадлежит плоскости ab

применение смешанного произведения

1. вычисление объемов параллелипипедов ( V = |abc|), трегольных призм ( V = |abc|/2), пирамид ( V = |abc|/6)

2. определение компланарности трех векторов