1.11. Поняття про ірраціональні числа. Дійсні числа

Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають

Теорема. Серед раціональних чисел немає такого, яке дорівнювало б значенню

Припустимо протилежне. Нехай існує таке раціональне число, квадрат якого дорівнює 2. Це число можна подати у вигляді нескорочуваного дробу де — натуральні числа. Тоді Оскільки число — парне, то й число , що йому дорівнює також парне, а тому число — також парне (адже квадрат непарного числа є непарне число), тобто де — натуральне число. Підставивши цей вираз у рівність дістанемо Оскіль­ки — парне число, то — також парне, тому і — парне число. Отже, і — парні числа, а це суперечить припущенню, що дріб нескоротний. Звідси випливає, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Таким чином, не є раціональним числом.

Це число називають ірраціональним. Ірраціональними числами є і т. ін.

Зауважимо, що до ірраціональних чисел належить число яке виражає відношення довжини кола до його діаметра.

У теоремі 1.10 доведено, що кожне раціональне число є нескінченним періодичним десятковим дробом. Було зазначено також, що будь-який періодичний десятковий дріб є поданням деякого раціонального числа.

Крім періодичних нескінченних десяткових дробів, існують непе­ріодичні дроби: такий, наприклад, дріб в якого після першої двійки одна одиниця, після другої — дві одиниці і т. д. Кожний неперіодичний нескінченний десятковий дріб де — ціла частина числа х; — десяткові знаки, є поданням деякого нового (не раціонального) числа, що називається ірраціональним. Множину всіх таких чисел називають множиною ірраціональних чисел.

Множиною дійсних чисел називають множину всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел. Таким чином, з’ясовується, що будь-яке дійсне число подається нескінченним десятковим дробом. Множина всіх дійсних чисел позначається R.

Дійсні числа впорядковано за величиною, тобто для будь-яких двох дійсних чисел і справджується лише одне і лише одне із співвідношень: Сенс нерівності між дійсними числами визначається правилом порівняння нескінченних десяткових дробів.

Для дійсного числа наближення з точністю до з недостачею і з надлишком визначаються так:

Очевидно, що

Додавання до десяткового дробу числа рівносильне збіль­шенню останньої цифри дробу на одиницю. Зауважимо, що кожне з десяткових наближень і дійсного числа є раціональним числом.

Приклад. Випишемо перші п’ять наближень (з недостачею та надлишком) для числа

Для дійсних чисел можна визначити арифметичні операції додавання і множення. Віднімання визначається як дія, обернена до додавання, а ділення — як дія, обернена до множення. Основні властивості арифметичних дій із цілими числами справеджуються і для дійсних чисел.

Визначимо суму і добуток двох дійсних чисел і Для їхніх наближень з недостачею та надлишком із точністю до справджуються такі нерівності

Сумою дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід’ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Добутком невід’ємних дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід’ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Дійсні числа можна зображати точками координатної осі.

Множину всіх дійсних чисел називають числовою віссю; вона зображається всією координатною прямою, її позначають (читається: «проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності»).

Множина всіх чисел, що задовольняють подвійну нерівність називають числовим проміжком (або проміжком) і позначають (читається: «проміжок від до ».

Множину всіх чисел, що задовольняють нерівності і позначають відповідно (читається: «проміжок від до включаючи та »), [a; b) і (a; b].

Проміжок називають інтервалом, проміжок — відрізком або сегментом, а проміжки [a; b) і (a; b] — напівінтервалами.