Конспект лекций Дискретная математика

2. Алгебраические структуры.

Определение. Пусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . Структура вида называется алгеброй; множество называется несущим множеством, совокупность операций - сигнатурой, вектор “ ” операций называется типом.

Определение. Множество называют замкнутым относительно операции на множестве , если значения функции на аргументах принадлежат (то есть ). Если множество замкнуто относительно всех операций , то структура называется подалгеброй алгебры .

Пример 1.

а) Алгебра R называется полем действительных чисел (определение понятия поля будет дано ниже). Её тип - . Это означает, что сигнатура данной алгебры содержит две бинарные операции. Здесь все конечные подмножества (кроме множества ) не замкнуты относительно обеих операций и, следовательно, не могут образовывать подалгебры. Но алгебра вида Q - поле действительных чисел – образует подалгебру.

б) Пусть задано множество . Множество всех его подмножеств – булеан, обозначается как или . Алгебра называется булевой алгеброй множеств над множеством . Её тип: . Для любого будет являться подалгеброй .

в) Множество одноместных функций на (то есть функций вместе с унарной операцией дифференцирования является алгеброй. Множество элементарных функций замкнуто относительно этой операции (поскольку производная любой элементарной функции есть также элементарная функция), поэтому образует подалгебру данной алгебры.

Определение. Замыканием множества относительно сигнатуры (обозначается ) называется множество всех элементов, которые можно получить из элементов этого множества, применяя операции из сигнатуры (включая сами элементы ).

Например, в алгебре целых чисел Z замыканием числа 2 является множество чётных чисел.

Теорема 5.1. Непустое пересечение подалгебр образует подалгебру.

Содержание