Отношения порядка.

Определение 1. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Определение 2. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Оба типа отношений вместе называются отношениями порядка. Элементы сравнимы по отношению порядка , если выполняется одно из двух отношений или . Множество , на котором задано отношение порядка, называется полностью упорядоченным, если любые два его элемента сравнимы. В противном случае, множество называется частично упорядоченным.

Пример 3.

а) Отношения “ ” и “ ” являются отношениями нестрогого порядка, отношения “<” и “>” – отношениями строгого порядка (на всех основных числовых множествах). Оба отношения полностью упорядочивают множества и .

б) Определим отношения “ ” и “<” на множестве следующим образом:

1) , если ;

2) , если и при этом ходя бы для одной координаты выполняется .

Тогда, например, , но и несравнимы. Таким образом, эти отношения частично упорядочивают .,

в) На системе подмножеств множества отношение включения “ ” задаёт нестрогий частичный порядок, а отношение строгого включения “ ” задаёт строгий частичный порядок. Например, , а и не сравнимы.

г) Отношение подчинённости в трудовом коллективе создаёт строгий частичный порядок. В нём, например, несравнимыми являются сотрудники различных структурных подразделений (отделов и т. п.).

д) В алфавите русского языка порядок букв зафиксирован, то есть всегда один и тот же. Тогда этот список определяет полное упорядочение букв, которое называется отношением предшествования. Обозначается ( предшествует ). На основании отношения предшествования букв построено отношение предшествования слов, определяемое примерно, таким образом, как производится сравнение двух десятичных дробей. Это отношение задаёт полное упорядочение слов в русском алфавите, которое называется лексикографическим упорядочением.

Пример 4.

а) Наиболее известным примером лексикографического упорядочения слов является упорядочение слов в словарях. Например, (так как ), поэтому слово лес расположено в словаре раньше слова лето.

б) Если рассматривать числа в позиционных системах счисления (например, в десятичной системе) как слова в алфавите цифр, то их лексикографическое упорядочение совпадает с обычным, если все сравниваемые числа имеют одинаковое количество разрядов. В общем же случае эти два вида могут не совпадать. Например, и , но , а . Для того, чтобы они совпадали, нужно уравнять число разрядов у всех сравниваемых чисел, приписывая слева нули. В данном примере при этом получим . Такое выравнивание происходит автоматически при записи целых чисел в ЭВМ.

в) Лексикографическое упорядочивание цифровых представлений дат вида 19.07.2004 (девятнадцатое июля две тысячи четвёртого года) не совпадает с естественным упорядочением дат от более ранних к более поздним. Например, дата 19.07.2004 “лексикографически” старше восемнадцатого числа любого года. Чтобы возрастание дат совпадало с лексикографическим упорядочением, обычное представление надо “перевернуть”, то есть записать в виде 2004.07.19. так обычно делают при представлении дат в памяти ЭВМ.