Идентификация графов, заданных своими представлениями.

Итак, граф может быть представлен различными способами. Он может быть задан рисунком, матрицей инцидентности, списком рёбер или матрицей смежности. Вид чертежа зависит от формы линий и взаимного расположения вершин. Иногда, даже для пары достаточно простых графов, непонятно, одинаковы ли они (см. рисунок 5 “а” и “б”). Вид матриц, также как списков рёбер зависит от нумерации вершин и рёбер графа. В связи с этим возникает весьма существенный вопрос о том, как определять равенство графов.

Рисунок 5.

а) б)

Строго говоря, граф считается полностью заданным, если нумерация его вершин зафиксирована. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными.

Определение. Графы G₁(V₁, E₁) и G₂(V₂, E₂) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение : V₁  V₂, сохраняющее смежность.

Перенумерация вершин графа задаётся строкой новых номеров вершин, расположенных в исходном порядке. Новая матрица смежности получается из исходной матрицы перемещением каждого элемента в строку, в столбец. Поэтому, чтобы узнать, представляют ли две таблицы смежности изоморфные графы, можно, например, перевести всевозможные одинаковые перестановки строк и столбцов первой матрицы. Если одна из таких перестановок даст матрицу, тожественно совпадающую со второй матрицей, то представляемые ими графы изоморфны. Однако эта процедура может оказаться очень трудоёмкой, так как всего возможно выполнение перестановок.