1. Основные понятия теории множеств.

Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов а, которые называются элементами множества.

а  М

Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества.

Замечание. Вообще говоря, понятие множества считается первичным (исходным) понятием, и, как таковое, не определяется. Приведённое выше определение следует, скорее, считать уточнением понятия множества.

Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом .

Множество может быть задано перечислением (списком) своих элементов, порождающей процедурой или описанием характеристических свойств (предикатом), которым должны обладать его элементы. Причём в последнем случае необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно. Добавим, что многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество чётных однозначных чисел).

Пример 1. Некоторые примеры множеств, заданных различными способами.

а) .

б) .

в) .

Мощностью конечного множества М называется количество его элементов. Обозначается . Если , то множества А и В называются равномощными.

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

А

В

А  В

Определение. Если А  В, то множество А называется подмножеством множества В (также говорят, что В покрывает А). Если при этом А  В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А  В.

Замечание. Не следует считать равносильными отношения принадлежности и вхождения одного множества в другое . Можно привести следующий пример. Пусть А – множество всех студентов данной группы, а В – множество всех учебных групп данного института. Здесь , но , поскольку элементы этих множеств разнородны. Этот пример показывает также, что элементами множеств могут являться другие множества.

Парадокс Рассела. Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: . Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если , то . С другой стороны, если , то ! Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимся к тому, что не является множеством.

Для трех множеств А, В, С справедливы следующие соотношения:

Связь между включением и равенством множеств устанавливается следующим соотношением:

Здесь знак  обозначает конъюнкцию (логическое “и”).

В заключение добавим, что Г. Кантор предложил использовать понятие “универсального множества” (универсум), как бы противоположного понятию пустого множества . По мысли Кантора, универсальное множество содержит все мыслимые множества, и при этом оно само содержится во множестве своих подмножеств в качестве элемента. В дальнейшем смысл и содержание понятия универсального множества будут раскрыты более подробно.