1.2.1. Начальные понятия теории множеств.

1) Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множества - строчными буквами латинского алфавита: А={a₁;a₂;…;a_n…}, где a₁;a₂;…;a_n…- элементы множества.

Например, буква Ф является элементом множества букв русского алфавита (принадлежит), а буква F- не является (не принадлежит) этому множеству.

Множество лингвистических объектов:

- множество букв в русском алфавите (или в алфавите любого другого языка);

- множество словоупотреблений (цепочка букв, заключённая между двумя пробелами) в тексте,

- множество словоформ (полностью совпадающие словоупотребления образуют одну словоформу);

- множество слов (класс семантически и грамматически связанных между собой словоформ);

- множество фонем (минимальная языковая единица, обладающая смыслоразличительной функцией);

- множество морфем (значимая часть слова естественного языка).

2) Способы задания: перечисление элементов, описание свойств.

Например: М={1,2,3} или М={x|

3).Пустое множество Ø не имеет ни одного элемента.

Пустое лингвистическое множество: множество двухбуквенных комбинаций чы, бй, оъ в русских текстах; множество дифтонгов в русском языке.

4) Равные множества состоят из одних и тех же элементов или оба пустые.

Например: а) если К={А, В, Б} и D ={ А, Б, В }, то К= D;

б) множество А={вы, вас, вам, вами} равно множеству, включающему формы склонения местоимения «вы».

5) Для наглядности множества изображаются с помощью кругов или других геометрических фигур (круги Эйлера и диаграммы Венна)

6

В

е

А

Обозначение: _.

Само множество является своим подмножеством: .

Пустое множество является подмножеством любого множества: ØВ;

Например, множество М={1,2,3} является подмножеством множества натуральных чисел N: ; множество огубленных гласных звуков [о] и [и] является подмножеством множества гласных звуков.

7) Булеан множества – множество всех его подмножеств. Обозначается: β(А).

Например: если А={f, p, q}, тогда β(А)={Ø, {f}, {p}, {q}, {f;p}, {f;q},{p;q},{f;p;q}}.

8) Числовые множества:

-

C

N

Q

-множество целых чисел, обозначаетсяZ,

Z

N

-

множество дробей вида

- множество действительных чисел, обозначается R, множество всех чисел, которые можно изобразить точкой числовой прямой

- множество комплексных чисел, обозначается C, множество всех чисел, которые можно изобразить точкой комплексной плоскости.

9) Эквивалентные множества – множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие.

10) Мощность множества – количество его элементов. Обозначается:.

Например: если В={а,в,1,2}, то =4;

Мощность множества букв русского алфавита равна 33;

мощность множества неслоговых фонем в русском языке равна1 (и), мощность множества падежей в русском языке – 6,

множество косвенных падежей имеет мощность равную 5 (все, кроме именительного).

11) Различают конечные и бесконечные множества. Бесконечные множества по мощности можно разделить на счётные и несчётные множества.

Схема1

Счётное множество – это бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел (элементы которого можно занумеровать, т.е. каждому элементу поставить в соответствие натуральное число).

Пример: множество чётных натуральных чисел, множество целых чисел, кратных 5 и т.д.

Некоторые из несчётных множеств являются множествами мощности континуум – бесконечные множества, эквивалентные множеству действительных чисел (неисчерпаемые, непрерывные).

Например: Е=[-3;5); F=[0;1] - множества мощности континуум

Лингвистика чаще имеет дело с конечными множествами, например: множество глаголов в отрывке текста; множество слов в предложении; множество букв в алфавите определённого языка; множество произведений данного автора и т.п.

Примером бесконечного лингвистического множества может быть множество всех словоупотреблений в текстах данного языка при условии, что этот язык беспрерывно порождает и будет порождать новые тексты без какого либо ограничения во времени.

1.2.2. Операции над множествами

1

В

включает элементы, принадлежащие хотя бы одному

из множеств А и В

2. Пересечение множеств А и В,

о

В

множеств А и В.

3

А

включает элементы, принадлежащие множеству А,

не входящие в В.

4

А

обозначается АΔВ, включает элементы,

п

U

5

А

(U- универсальное множество), включает

элементы, принадлежащие множеству U, но не входящие в А.

Примеры. 1) А={1;2;3;4}; B={2;4;6}

={1;2;3;4;6}; ={2;4}; ={1;3}; ={6};

АΔВ={1;3;6}; ={x|

2. Операции над множествами можно проиллюстрировать с помощью множеств губных казахских согласных А = {b,p,m,w} и сонорных казахских согласных В = {m,n,n^’,w,l,r,j}:

₌{b,p,m,n,n^’,w,l,r,j}; ₌{m,w};

= {b,p}; = {n,n^’,l,r,j}; АΔВ={b,p,n,n^’,l,r,j}.

1.2.3. Отношения на множествах

Отношение – любая зависимость между элементами одного или нескольких множеств

1) Виды отношений на множествах

- унарные (1-местные), например, R={быть гласной буквой} на множестве букв алфавита естественного языка;

- бинарные (2-местные), например: R={содержать одинаковое количество букв} на множестве слов естественного языка;

- тернарные (3 –местные), например, зависимость между компонентами арифметических действий: делимое, делитель, частное;

- n – местные.

2) Свойства бинарных отношений на множестве А

Рефлексивность

Антирефлексивность

Симметричность

Антисимметричность

Транзитивность

3) Типы бинарных отношений

Эквивалентность – обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Разбивает универсальное множество на непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.

Отношение порядка упорядочивает элементы множества, задаёт иерархию на множестве

Отношение нестрогого порядка обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности, транзитивности;

Отношение строгого порядка обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности.

Отношения толерантности обладает свойствами рефлексивности, симметричности.

Примеры:²

1.Отношение R₁={быть родственными языками} на множестве языков мира является отношением эквивалентности, т.к. обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Это отношение делит универсальное множество – множество языков мира – на группы родственных языков.

2. Отношение R₂ ={быть предком} на множестве языков мира является отношением строгого порядка, так как обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

3. Отношение R₃ ={содержать одинаковые слова} на множестве предложений является отношением толерантности, так как обладает свойствами рефлексивности и симметричности, но не является транзитивным.

4. Отношение порядка R= « иметь более высокий частотный ранг» на множестве слов определённого языка задействовано при создании частотных словарей. Это отношение является отношением строгого порядка, так как обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности и транзитивности.

5) Отношение «непосредственного заимствования» (язык Х заимствует из языка У) на множестве языков одной группы, обладает свойствами антирефлексивности, антисимметричности, и не является транзитивным.

Лекция 2. Комбинаторика. Начальные понятия теории вероятностей

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

«Языковеду постоянно приходится решать задачи, в которых рассматриваются комбинации и расположения элементов, принадлежащих определённому лингвистическому множеству. Так, например, синтаксисту важно знать, сколько позиционных вариантов может давать в устно-разговорной речи предложение «Сегодня идёт дождь». Фонетисту, специалисту в области кодирования текста, а также работнику ГИБДД, занимающемуся распределением букв серий автомобильных знаков на территории страны, нужно знать сколько, двух- и трёхбуквенных комбинаций может дать русский алфавит»³.

2.1.1. Правила комбинаторики

Пусть элемент можно выбратьспособами;–способами;…,–способами.

Тогда:

1) элемент

можно выбрать способами;

2) элемент

можно выбрать способами .

2,2. n! (n-факториал) – произведение n первых натуральных чисел.

1! =1; 2!=12=2; 3!= 123=6; 4!= 1234=24; …..

n!= 123…n (при n>3) 0!=1