Лемма о равномерной непрерывности.
def: Метрическое пространство называется компактом, если из каждого покрытия его открытыми множествами (открытое покрытие) можно выделить конечное подпокрытие.
Лемма:
Пусть – метрические пространства, – метрический компакт, а – непрерывно на всем , тогда – непрерывно по и эта непрерывность равномерна по , то есть и , что , выполняется неравенство (то есть не зависит от k).
Доказательство:
◄ Выберем произвольно и . Надо найти . В силу непрерывности в точке имеем . Используя аксиому выбора можно считать, что задана функция на всем К. Заметим: , где – открытый шар в К, с центром в точке k, радиуса . В силу компактности К, имеем : . Положим , тогда , покажем, что это – искомое.
Пусть , , , тогда , , то есть . Имеем:
+ .
Так как:
– для первого слагаемого,
– для второго слагаемого. ►
- 2 Семестр.
- Лектор: Сухинин м. Ф.
- Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- Лемма Арцелы (критерий компактности).
- Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- Лемма о равномерной непрерывности.
- Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- 2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- Лемма Адамара.
- Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- Существование полной системы первых интегралов
- Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- По условию 4),
- Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.