logo search
spory

Обратная матрица.

Понятние обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

Определение. Пусть а – квадратная матрица. Матрицей, обратной А, называется матрица, обозначаемая А-1, такая что АА-1 = А-1А = Е, где Е – единичная матрица.

Квадаратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной – в противном случае.

Теорема: для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Доказательство. Есть А-1  detA0

Необходимость. У А есть А-1

Надо доказать что detA0

Т.к. АА-1 = Е => det(AA-1) = detE => detAdetA-1 = detE. Т.е. detAdetA-1=1 =>detA0

Достаточность. Дано: detA0. Надо доказать что существует А-1

Схема построения обратной матрицы.

  1. Находим detA=d0

  2. Находим все алгебраические дополнения Aij

  3. Строим матрицу Ас = (Aij)T

  4. A-1 = (1/detA)Ac

Если обратная матрица существует, то она единственная. Действительно. A, detA0 и пусть B, C – две обратные к А.

Рассмотрим. BAC = (BA)C = EC = C => B=C

B(AC) = BE = B

Понятие обратной матрицы позволяет решать т.н. матричные ур-я вида АХ = В, где А, В – заданные матрицы, Х – неизвестная матрица.

Действительно. Если |A|0 , то есть A-1 умножим: A-1(AX) = A-1B => X=A-1B

Аналогично: XA = B, X=BA-1

Или: AXB = C => X = A-1CB-1