3) Нормальное распределение (закон Гаусса)

Распределение непрерывных СВ описывается специальными законами, среди которых , наиболее важным является нормальное распределение (закон Гаусса). Нормальное распределение выступает в качестве предельного закона, к которому при определённых условиях приближаются другие теоретические распределения.

НСВ Х распределена по нормальному закону Х~N(a;σ), если её функция плотности распределения имеет вид:

где а и σ>0 – параметры нормального распределения.

Свойства функции плотности вероятности f(x)

нормального распределения.

1) f(x)>0,

2) Прямая х=а – ось симметрии графика f(x);

3) - единственная точка экстремума функции f(x);

4) - точки перегиба графика f(x).

График f(x) - кривая нормального распределения (кривая Гаусса)

- имеет идеально симметричную форму,

коэффициенты асимметрии и эксцесса

для нормального распределения равны нулю.

При а=0 и σ=1, нормальное распределение называется стандартным. Плотность вероятностистандартной СВ имеет вид:

Функция распределения СВ Х~N(0;1) определяется по формуле:

и называется функцией Лапласа.

Стандартное нормальное распределение часто используется в статистических исследованиях, поэтому значения функции Лапласа табулированы.

Пример: Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения :

По какому закону распределена случайная величина?

Найти М(х), D(х), σ(x).

Построить схематически график f(x)