37.Решение игры в смешанных стратегиях. Теорема фон Неймана.
Решить матричную (антагонистическую) игру – значит найти для игроковАиВих оптимальные стратегии.
Решение игры связано с матрицей (аij) и следующими понятиями:
Нижняя цена игры α=maxmin аij(сначала находится минимум в каждой строке, а
i j
потом из полученных минимумов находится максимум). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрокаВ.
Верхняя цена игры β=minmax аij (сначала находится максимум в каждом столбце,
j i
а потом из полученных максимумов находится минимум). Это гарантированный проигрыш игрока В при любой стратегии игрокаА.
Очевидно α<= β. В случаеα=β говорят о цене игрыν=α=β. Соответствующие цене игры стратегии являются оптимальными, а сама игра естьигра с седловой точкой.
В случае, когда α<β седловой точки не существует. В этом случае решение игры ищестся в смешанных стратегиях. Доказано (Дж. Фон Нейман), что конечная матричная игра имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение, возможно в смешанных стратегиях.
Смешанная стратегиясостоит в том, что при повторении игры происходит случайный выбор стратегии из множества смешиваемых стратегий и для каждой смешиваемой стратегии указывается вероятность (частота) ее выбора. В таком случае для каждого игрока указывается вектор частот, с которым следует применить ту или иную стратегию.
Для игрока АэтоР=(р1,….рm), а для игрокаВ– этоQ=(q1,…….,qn), при этом
Σ pi=1иΣ qj=1, средний выигрыш игрокаАравенНА(Р,Q)=Σ Σ аij pi qj
Если вероятность применения стратегии отлична от нуля, то такая стратегия называется активной.
Оптимальными смешанными стратегиями Р0 иQ0 называются стратегии, если выполняется неравенство:
НА(Р,Q0)=< НА(Р0,Q0)=< НА(Р0,Q)
В этом случае НА(Р0,Q0) называетсяценой игры и обозначается α=<ν=< β
Первое из неравенств означает, что отклонение игрока А от своей оптимальной смешанной стратегии при условии, что игрокВпридерживается своей оптимальной смешанной стратеги, приводит к уменьшению среднего выигрыша игрокаА. Второе из неравенств по смыслу аналогично первому с той лишь разницей что касается игрокаВ.
Решение всякой парной конечной игры с нулевой суммой может быть получено методами линейного программирования.
- 1. Теория принятия решений: задача принятия решений, цель, проблема, проблемная ситуация.
- 2.Измерения при формировании решений: ранжирование, парное сравнение, непосредственная оценка, виды неопределенностей и их измерение.
- 3.Виды экспертиз.
- 4.Метод Дельфы
- 5. Дерево целей и решений.
- 6.Определение усредненного мнения экспертов (среднее арифметическое, среднее геометрическое, мода, медиана Кемени
- 7.Определение согласованности мнений экспертов (коэффициент конкордации).
- 8.Виды критериев оптимальности и их содержание.
- 9. Критериальный анализ ситуации: метод базовых шкал, ранжирование и выбор критериев.
- 10.Нечеткие множества и основные операции над ними.
- 11.Экспертные методы определения функций принадлежности.
- 12. Аналитический и оптимизационный методы определения функций принадлежности.
- 13. Нечеткая задача оптимизации выбора вариантов проектов.
- 14. Модели стохастического математического программирования
- 15. Генерация альтернатив решений: понятие генетического алгоритма.
- 16. Генерация альтернатив решений: Дерево решений
- 17. Многокритериальная оптимизация. Проблемы многокритериальной оптимизации
- 18. Многокритериальная оптимизация. Множество Парето.
- 19. Многокритериальная оптимизация. Метод идеальной точки.
- 20. Принятие решений по многим критериям: Метод последовательных уступок
- 21. Принятие решений по многим критериям: Парето оптимальное решение
- 23.Принятие решений по многим критериям: Гарантированные достоинства и недостатки.
- 24.Принятие решений по многим критериям: Правило Борда.
- 25.Принятие решений по многим критериям: Принцип Беллмана-Заде
- 26. Принятие решений по многим критериям: Турнирная таблица
- 30.Согласование групповых решений: принцип большинства голосов, принцип диктатора, принцип вето, идеальной точки, консенсус.
- 31.Согласование групповых решений по Парето.
- 32. Согласование групповых решений: Метод идеальной точки
- 33. Марковская модель согласования решений.
- 34. Согласования групповых решений. (принципы Курно, Парето, Эджворта).
- 35. Теория игр: платежная матрица, чистые и смешанные стратегии, решение игры.
- 36. Решение игры в чистых стратегиях. Игры с седловой точкой.
- 37.Решение игры в смешанных стратегиях. Теорема фон Неймана.
- 38.Решение матричных игр МхN (сведение к задаче линейного программирования).
- 39.Игры с природой (теория статистических решений). Особенности платежной матрицы.
- 40.Байесовские стратегии в играх с природой (частичная неопределенность).
- 41. Критерии принятия решений в играх с природой (полная неопределенность).
- 42.Марковские процессы с дискретным временем: основные понятия и определения.
- 43.Игры с природой: оценка риска