Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.

Пусть f(x) определена в некоторой области Д, пусть x₀R

Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполнены 2 условия:

1. f(x) определена в точке x₀

2. lim_x->x0f(x) = f(x₀)

если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то ф-я f(x) называется разрывной в точке x₀ , а сама точка называется точкой разрыва функции.

Функция f(x) называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Определение 2. Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x₀ , если бесконечно малому приращению x аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

x y

Т.е. f(x₀+x) – f(x₀) 0 при x

Из этого определения следует, что графиком непрерывной в области Д функции будет непрерывная линия. Т.е график этой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

1. Все основные элементарные ф-ии, кроме tgx, ctgx, 1/x^ (>0) непрерывны.

2. Все основные элементарные ф-ии непрерывны в своей области определения

3. f(x)=E(x)=[x] – разрывна во всех точках x₀Z

4. f(x) = (x) = {0, x рациональное число 1, x – нерациональное разрывна во всех точках

5. f(x) = { x², x<=1 3-x, x>1 x=1 точка разрыва

6. f(x) = { x², x<=1 2-x, x>1 непрерывна

7. f(x) = sinx/x x=0 точка разрыва

f(x) = { sinx/x , x0 1,x=0 непрерывна

Односторонняя непрерывность.

Функция f(x) называется непрерывной слева (справа), если

1. f(x) определена в точке x₀

3. lim_x->x0-0f(x) = f(x₀) (lim_x->x0+0f(x) = f(x₀))

определение.

Пусть x₀ точка разрыва ф-ии f(x) тогда, если в точке x₀ существует КОНЕЧНЫЕ односторонние пределы lim_x->x0-0f(x) = а < и lim_x->x0+0f(x) = b <

То точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, при этом, если a=b, то эта точка – точка устранимого разрыва. Во всех остальных случаях точка x₀ – точка разрыва второго рода.