§4.3.6. Циклическое подпространство
Пусть – собственное значение линейного оператора , действующего в линейном пространствеV/K,=-, с – корневой вектор высотыh, принадлежащий собственному значению. Подпространство, порожденное векторамис,(с), 2(с), ... ,h –1(с), называетсяциклическим.
Теорема. Векторыс,(с),2(с), ... ,h–1(с) образуют канонический базис циклического подпространства.
Доказательство. Предположим, что
1с +2(с) +32(с) + ... +kh –1(с) =.
Подействовав на обе части этого равенства линейным оператором h –1, получим1h –1(с) =1= 0.
Подействовав на обе части этого равенства линейным оператором h –2, получим2= 0, ...,k= 0.
Следовательно, векторы линейно независимы. Получили линейно независимую систему образующих подпространства, т.е. базис. Линейный оператор =+ действует на элементы этого базис
с=с+с,
(с) =(с) +2с,
(2с) =2(с) +3с,
... ... ... ... ... ... … …
(h -2с) =h -2(с) +h -1с,
(h -1с) =h -1(с).
Из этой системы равенств следует, что подпространство инвариантно относительно линейного оператора .
Иными словами, линейный оператор индуцируетлинейный оператор подпространства, который мы тоже обозначаем буквой. Матрица индуцированного линейного оператора в этом базисе подпространства имеет видJh (), т.е. базис канонический. ■
- Модуль 4. Линейные операторы. Квадратичные формы Глава 4.1. Линейные операторы §4.1.1. Линейные операторы в линейном пространстве
- Упражнения
- §4.1.2. Ядро и образ линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.3. Матрица линейного оператора
- Упражнения
- §4.1.4. Сумма и произведение линейных операторов
- Упражнения
- §4.1.5. Собственные векторы и собственные значения
- Упражнения
- §4.1.6. Самосопряженный линейный оператор
- Упражнения
- §4.1.7. Группа ортогональных матриц
- Упражнения
- §4.1.8. Ортогональный линейный оператор
- Упражнения
- Глава 4.2. Квадратичные формы
- §4.2.1. Матричная запись квадратичной формы
- Упражнения
- §4.2.2. Теорема Лагранжа
- Упражнения
- §4.2.3. Закон инерции
- Упражнения
- §4.2.4. Положительно определенные квадратичные формы
- Упражнения
- §4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям
- §4.2.6. Билинейная форма
- Упражнения
- §4.2.7. Применение квадратичных форм к исследованию линий и поверхностей второго порядка
- Упражнения
- Глава 4.3. Каноническая форма Жордана
- §4.3.1. Относительная линейная независимость
- §4.3.2. Относительный базис
- §4.3.3. Корневые векторы
- Упражнения
- §4.3.4. Корневое подпространство
- Упражнения
- §4.3.5. Канонический базис
- §4.3.6. Циклическое подпространство
- §4.3.7. Построение канонического базиса в корневом подпространстве
- §4.3.8. Построение канонического базиса в общем случае
- §4.3.9. Единственность канонической формы Жордана