Дифференцирование произведения функций.

Замечание: постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Пусть u = u(x) , v = v(x) – 2 ф-ии. Тогда

(uv)’ = u’v + uv’

Доказательство: x, x

u(x + x) – u(x) = u

v(x + x) – v(x) = v

тогда:

u(x + x) = u + u

v(x + x) = v +v

пусть y(x) = u(x)v(x)

тогда y = y(x + x) – y(x) = u(x + x) v(x + x) – u(x)v(x) = (u + u)(v + v) – uv = uv + uv + uv + uv – uv = uv + uv + uv

тогда y’ = (uv)’ = lim_x->0 y/x = lim_x->0 = lim_x->0 + lim_x->0 + lim_x->0 = = uv’+u’v + u’ lim_x->0

если ф-я v или u непрерывна, то бесконечно малому x будет соответствовать б.м v и последнее слагаемое стремится к нулю, поэтому (uv)’ = u’v + uv’

33. Содержание

    • Матрицы. Линейные операции над матрицами.
    • Умножение матриц.
    • Свойства определителей
    • Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
    • Обратная матрица.
    • Ранг матрицы. Вычисление ранга.
    • Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
    • Векторы. Линейные операции над векторами.
    • Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
    • Скалярное произведение векторов
    • Векторное произведение векторов
    • Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
    • Деление отрезка в данном отношении
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
    • Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
    • Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
    • Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
    • Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
    • Расстояние от точки до прямой в пространстве.
    • Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
    • Общее уравнение прямой на плоскости
    • Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
    • Расстояние от точки до прямой на плоскости.
    • Угол между прямыми на плоскости.
    • 32. Предел последовательности и его свойства.
    • Число е.
    • Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
    • Теоремы о пределах функции.
    • Первый замечательный предел.
    • Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
    • Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
    • Свойства непрерывных функций.
    • Производная. Геометрический и механический смысл производной.
    • Дифференцирование суммы(разности) функций.
    • Дифференцирование произведения функций.
    • Дифференцирование частного двух функций.
    • Производная сложной и обратной функции.
    • Логарифмическое дифференцирование и его применение.
    • Производная функции, заданной параметрически.
    • Дифференциал. Инвариантность формы.
    • Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
    • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
    • Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
    • Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
    • Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
    • Ассимптоты графика функции.
    • Формула тейлора.