§4.3.3. Корневые векторы

Пусть  – собственное значение линейного оператора, действующего в линейном пространствеV/K,– тождественный линейный оператор, т.е.(а) = аа V. Векторсназываетсякорневым вектором линейного оператора , принадлежащим собственному значению , если существует натуральное числоs, для которого

(-)^sс=. (1)

Из этого условия следует, что (-)^tс= для любого натурального числа t > s. Наименьшее натуральное число s, для которого выполнено условие (1) называется высотой корневого вектора с. Высотой нулевого вектора считаем нуль. Ненулевой собственный вектор – это корневой вектор высоты 1, т.е. корневой вектор – это обобщение понятия собственного вектора.

Теорема. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, различны.

Доказательство. Пусть₁ и₂ – два разных собственных значения линейного оператора,с – принадлежащий им общий ненулевой корневой вектор:

(-₁)ⁿc=, (-₂)^mc=.

Так как ₁₂, то многочлены (х-₁)ⁿи (х-₂)^m взаимно простые и по теореме о линейном представлении НОД существуют многочленыu(x) иv(x) из Kx, для которых

u(x) (х - ₁)ⁿ+v(x) (х - ₂)^m = 1.

Отсюда

u() (-₁)ⁿ+v() (-₂)^m =

 с =(с) =u() (-₁)ⁿс+v() (-₂)^mс=u()+v()=.

Получили противоречие с тем, что с – ненулевой вектор. ■

Теорема. Ненулевые корневые векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство. Пусть₁, ... ,_m – различные собственные значения линейного оператора;с₁, ... , с_m – ненулевые корневые векторы, принадлежащие этим собственным значениям; h₁, ..., h_m - их высоты соответственно.

Методом полной математической индукции по числу векторов m докажем линейную независимость векторовс₁, ... , с_m. При m =1 утверждение верно, так как один ненулевой вектор образует линейно независимую систему. Предположим, что утверждение верно при m = k. Пустьm= k+1 и ₁с₁+ ...+ _kc_k + _k+1c_k+1 = . Применим к обеим частям равенства линейный оператор (-_{k +1}). Получим

₁(-_{k +1})с₁+ ...+ _k( - _{k +1}) c_k = .

По предыдущей теореме векторы

(-_k+1)с₁, ..., (-_{k +1})с_k

ненулевые, причем они являются корневыми векторами, принадлежащими различным собственным значениям ₁, ... ,_k. Проверим, к примеру, что первый из них принадлежит первому собственному значению.

(-₁)((-_{k +1})с₁) = (-_{k +1})((-₁)с₁) =

= (-_{k +1})=.

Заметим, что композиция отображений некоммутативна, но многочлены от одного и того же отображения перестановочны. Чем мы и воспользовались при проведении данных выкладок. По гипотезе индукции ₁= 0, ...,_k= 0_k+1c_k+1=_k+1=. Векторыс₁, ... , с_{k +1}линейно независимы. ■