4.2. Функция распределения св (интегральная функция распределения) f(X)

Функция распределения случайной величины Х равна вероятности того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем x ().

X<х

х

Свойства F(x):

• F(x) – неубывающая, т.е. для всех х, таких, что x₂ >х₁ верно F(x₂)≥ F(x₁);

• - т.к это вероятность;

• При х→-∞, F(x) →0, т.к. F(-∞)=P(X<-∞)=0;

• При х→∞, F(x) →1, т.к. F(∞)=P(X<∞)=1;

Р(a<Х<b)=F(b)-F(a), при a<b

Доказательство:P(X<b) = P(X<a)+P(a<Х<b) X<a a<Х<b

P(a<Х<b)=P(X<b)- P(X<a) = F(b)-F(a)

а b x

Пример. Случайная величина X – число выпавших шестёрок при подбрасывании двух игральных костей.

а) Составить закон распределения случайной величины Х.

б) Найти функцию распределения F(x) и построить её график.

Решение.

а) Найдем вероятности их появления. Пусть А- «появилась 6 на первой кости», В- «появилась 6 на второй кости». Р(А)=1/6, P(B)=1/6, P()=5/6, P()=5/6.

Р(Х=0) ==25/36 (независимые события)

P(X=1)= 10/36.

Р(Х=2) = Р(АВ)=Р(А)Р(В)=1/36.

Заполним таблицу:

Получили закон распределения СВХ.

б)

_{0 1 2 х}

_{Вероятность того, что значения СВ Х будут меньше, чем}

_{равна нулю, т.к. нет таких значений СВ.}

_{Вероятность того, что значения СВ Х будут меньше, чем}

_{равна Р(Х=0)= 25/36 , т.к. только значение 0 меньше, чем данные х.}

_{Вероятность того, что значения СВ Х будут меньше, чем}

_{равна сумме вероятностей P(X=0) и P(X=1), т.к. Х=0 и Х=1 меньше, чем}

_{F(x)=P(X=0)+P(X=1)= 25/36 +10/36=35/36.}

_{При х>2 F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 25/36 +10/36+1/36=1}

_{Тогда функция F(x) будет иметь вид:}

25/36

0 1 2 x

Фунция распределения любой ДСВ всегда является разрывной ступенчатой функцией, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям СВ Х. Длина скачка равна вероятности СВ в данной точке.

Для НСВ функция распределения F(x) непрерывна на R.