Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
Рассмотрим УрЧП
(1),
где − функции класса от в окрестности кривой
, ,
причем в этой окрестности.
Задача Коши состоит в нахождении поверхности класса , удовлетворяющей УрЧП (1) и содержащую кривую
Теорема:
1) Пусть − функции класса от определенные в окрестности
2)
3)
4) , где
Тогда существует окрестность кривой вида
(окрестности в плоскости ) и единственная функция класса , определенная в этой окрестности, являющаяся решением задачи Коши, определенной выше.
Доказательство:
◄ Идея доказательства состоит в том, что через каждую точку проведем характеристику и покажем, что получилась поверхность класса . Тогда по второй лемме о характеристиках эта поверхность будет интегральной для УрЧП (1).
1) Продолжим на интервал при достаточно малом так, чтобы продолжение функции (например линейным образом)
Считаем, что лежит в области определения и при
2) Через каждую точку проведем характеристику УрЧП (1) , , причем , , для некоторой точки . Положим:
3) По теореме о непрерывности и непрерывной дифференцируемости по начальным данным получим, что определено и
принадлежит на . Поскольку
- 2 Семестр.
- Лектор: Сухинин м. Ф.
- Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- Лемма Арцелы (критерий компактности).
- Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- Лемма о равномерной непрерывности.
- Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- 2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- Лемма Адамара.
- Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- Существование полной системы первых интегралов
- Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- По условию 4),
- Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.