Элементы общей алгебры

Алгебраические системы

Общая алгебра изучает алгебраические системы. Любая такая система определяется

одним или несколькими базовыми множествами элементов произвольной природы; это могут быть числа, векторы, матрицы, функции (например, многочлены) и т.д.;
набором алгебраических операций с этими элементами; результатом выполнения операции с какими-то элементами-участниками является новый элемент; элементы-участники называются операндами.

Каждая операция характеризуется количеством операндов, участвующих в ней. Для большинства операций это количество равно двум, такие операции называются бинарными или двухместными, однако встречаются унарные или одноместные операции, а также тернарные или трехместные, операции с количеством операндов больше трех встречается редко.

Возможны ситуации, когда та или иная операция не определена (не выполнима) при некоторых значениях операндов, это зависит от согласованности операции с базовым множеством. Такие операции называются частичными.

Если операция выполнима при любых значениях операндов из некоторого множества и результат операции всякий раз также принадлежит этому множеству, говорят, что множество замкнуто относительно этой операции, в противном случае множество незамкнуто относительно операции. Так, множество четных чисел замкнуто относительно сложения и умножения, множество нечетных чисел замкнуто относительно умножения, но незамкнуто относительно сложения.

Рассмотрим примеры алгебраических систем.

Содержание