logo
Элементы общей алгебры

Алгебра многочленов

Базовое множество – многочлены от какой-то переменной, например от x. В зависимости от того, какими могут быть их коэффициенты, множество мно­гочленов обозначается Z[x], Q[x], R[x], C[x].

Бинарные операции: сложение (+), умножение (), вычитание (–). Деление, вообще говоря, невозможно. Однако если коэффициенты допус­кают деление (кроме деления на 0), то возможно деление многочленов с остатком. Так, путем "деления уголком" найдем

(x2+1) div (x)=x, (x2+1) mod (x)=1,

поскольку (x2+1)=xx+1 и при этом степень многочлена-остатка 1 (она равна 0) меньше степени многочлена-делителя x (она равна 1).

(2x2+x) div (3x+1)= , (2x2+x) mod (3x+1)= ,

поскольку (2x2+x)= (3x+1)( ) и при этом степень многочлена-остатка (она равна 0) меньше степени многочлена-делителя 3x+1 (она равна 1).

Еще одна операция с многочленами – композиция. Если заданы два многочлена f(x) и g(x), их композицией называется многочлен h(x), кото­рый получается, если в выражение многочлена f(x) вместо x подставить g(x): h(x)=f(g(x)). (В матанализе это называется "сложной функцией" или "функцией от функции".)

Пусть, например f(x)=x2, g(x)=x3+1, тогда h(x)=f(g(x))=(x3+1)2.

Для обозначения композиции используется символ "кружочек" () или просто точка (), как при умножении, т.е. h=fg или h=fg. Не следует путать эту операцию с "арифметическим умножением", т.е. перемножением значений мно­гочленов. Для тех же многочленов f(x) и g(x) при ариф­метическом умножении получится совсем другой результат:

f(x)g(x)=x2(x3+1)=x5+ x2.

Понятие композиции можно распространить на произвольные функции (рассматривать, например, ln(sin(x)) и т.п.), но тогда возникнут вопросы, связан­ные с областью определения и областью значений – входит ли область значе­ний функции g(x) в область определения функции f(x)? Многочлены в этом от­ношении "хорошие" функции – они определены при всех xZ (а также и при всех xQ, xR, xC).

    1. Yandex.RTB R-A-252273-3
      Yandex.RTB R-A-252273-4