Нейтральный элемент

Элемент eM называется нейтральным относительно рассматриваемой операции , если для любого xM выполняются равенства xe=x и ex =x.

Относительно сложения чисел нейтральным является число 0, относительно сложения векторов – нуль-вектор 0, относительно сложения матриц – нуле­вая матрица надлежащего размера (т.е. матрица, заполненная нулями), относи­тельно умножения чисел – число 1, относительно умножения квадратных мат­риц – единичная матрица E надлежащего порядка.

Имеются ли нейтральные элементы относительно операций НОД и НОК на множестве натуральных чисел N? Относительно НОД такого элемента нет хотя бы потому, что НОД(x,y)min(x,y). Относительно НОК нейтральным элементом является 1, поскольку НОК(x,1)=x.

Относительно векторного умножения  нейтрального элемента нет.

Относительно сложения многочленов нейтральным элементом является ну­левой многочлен, относительно их умножения – многочлен нулевой степени, константа 1. Относительно композиции многочленов _ нейтральным элементом является тождественная функция e(x)=x (многочлен степени 1).

В алгебре логики нейтральным элементом относительно конъюнкции  является "истина ", т.е. 1, а относительно дизъюнкции  и XOR – "ложь", т.е. 0. Относительно импликации  нейтрального элемента нет.

Относительно сложения по модулю n нейтральным элементом является 0, относительно умножения по модулю n нейтральным элементом является 1.

Относительно формальной операция  на множестве M={a,b,c}, заданной таблицей 1.4, нейтральным элементом является a, поскольку строка таблицы, соответствующая этому элементу, совпадает с шапкой таблицы, а столбец, соответствующий этому элементу, совпадает с боковиком таблицы.

В алгебре множеств относительно объединения и относительно симметрической разности нейтральным элементом является пустое множество , относительно пересечения нейтральным элементом является универс U.

Следующий пример имеет нестандартный характер. Рассмотрим множество целых чисел Z (можно было бы взять множество рациональных чисел Q или множество вещественных чисел R или даже множество комплексных чисел C) и определим на нем операцию: xy=x+y–1. Вопрос: имеется ли для этой операции нейтральный элемент e? Для него должно выполняться равенство xe=x при любом x. В левой части xe=x+e–1, в правой части просто x. Приравнивая, получим x+e–1=x, откуда e=1. Таким образом нейтральный элемент относительно операции  существует, это 1.

3. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Элементы общей алгебры
   • Алгебраические системы
   • Арифметика
   • Целочисленное деление
   • Алгебра матриц
   • Алгебра многочленов
   • Векторная алгебра
   • Алгебра логики
   • Арифметика вычетов по модулю n
   • Алгебра множеств
   • Операции с нефиксированным числом опе­ран­дов
   • Свойства алгебраических операций
   • Коммутативность
   • Нейтральный элемент
   • Симметричный элемент
   • Ассоциативность
   • Вычисления в полях вычетов

   Yandex.RTB R-A-252273-4