Существование полной системы первых интегралов
Теорема:
Пусть – некоторое решение системы (1) на . Тогда в окрестности графика существует полная система первых интегралов системы (1).
Доказательство:
◄ Пусть – точка на графике, а – другая точка на графике. Тогда решение . Далее . В силу единственности интегральной линии, проходящей через точку . Положим (фиксируем ), ( ). Покажем, что соотношение – полная система первых интегралов системы (1).
Проверим 3 условия.
1) функции определены в окрестности графика и по теореме о дифференцируемости по начальным данным и параметру.
2) условие 2) докажем позже.
3) Пусть – решение системы (1), тогда , то есть условие 3) проверено.
Заметим, что (матрица Якоби) – резольвента линейной системы (здесь переменная , а – начальные данные).
По следствию 2 теоремы о дифференцируемости решения задачи Коши по начальным данным и параметру , так как резольвента является ФМР, то есть .
Если бы , для некоторого , в некоторой окрестности из G, то в этой окрестности, а тогда i-я строка матрицы равнялась бы нулю в этой окрестности, а это не так ни в какой окрестности из G, для каждого , то есть условие 2) проверено. – система первых интегралов, заодно доказано, что она является полной. ►
- 2 Семестр.
- Лектор: Сухинин м. Ф.
- Канонические и нормальные системы оду. Порядок системы. Сведение системы к одному уравнению и наоборот.
- Лемма Арцелы (критерий компактности).
- Ломаные Эйлера и теорема Пеано.
- Теорема о единственности решения задачи Коши для систем оду. Следствие для оду n-го порядка. Случай линейного уравнения и линейной системы.
- Лемма о равномерной непрерывности.
- Непрерывность решения системы оду по начальным данным и параметру.
- 2) , , : & Это следует из открытости множества, непрерывности в точке и условия . Выберем , .
- Линейная зависимость и независимость вектор-функций. Определитель Вронского.
- Фундаментальная система решений (фср) для линейной однородной системы оду. Существование фср и их взаимосвязь. Общее решение линейной однородной неоднородной системы.
- Резольвента линейной системы оду и ее свойства.
- Построение линейной, однородной системы по известной фср. Формула Лиувилля.
- Линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения Случай не нормализуемой системы.
- Нормальные линейные системы с постоянными коэффициентами и методы их решения
- Устойчивость решения по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова об устойчивости.
- Лемма Ляпунова об асимптотической устойчивости и ее усиленный вариант.
- Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости по линейному приближению.
- Лемма Адамара.
- Дифференцируемости решения системы оду по начальным данным и параметру.
- Первые интегралы систем дифференциальных уравнений. Задание общего решения системы с помощью полной системы первых интегралов.
- Существование полной системы первых интегралов
- Линейные однородные УрЧп первого порядка. Связь с первыми интегралами соответствующей системы оду. Замечание о квазилинейных уравнениях.
- Квазилинейные УрЧп первого порядка. Две леммы о характеристиках.
- Теорема о существовании единственного решения задачи Коши для квазилинейных УрЧп первого порядка в случае пространственных переменных.
- По условию 4),
- Оператор Штурма-Лиувилля. Его собственные функции. Лемма о нулевом собственном значении.
- Представление решения краевой задачи для уравнения Штурма-Лиувилля через функцию Грина. Выражение функции Грина и ее свойства.