3.2. Функция Кобба-Дугласа

Одной из первых практических работ в области изучения производственных функций было исследование Ч.Кобба и П.Дугласа по данным обрабатывающих отраслей промышленности США за 1899-1922 гг.

В этих исследованиях была принята функция вида

(3.16)

где Y - объем выпуска продукции; X₁ - затраты труда; X₂ - стоимость производственных фондов.

В результате исследователи пришли к выводу, что а₁+а₂=1, т.е. имеет место неизменный эффект масштаба производства.

Функция валового внутреннего продукта (ВВП) в зависимости от стоимости основных фондов и числа занятых в народном хозяйстве за 1960-1994 годы имеет вид:

Y=0.931K^0.54 L^0.59 , (3.17)

где Y– ВВП, млрд р.; К - стоимость основных производственных фондов, млрд р.; L - число занятых в народном хозяйстве, млн чел.

По данным экономики США за 1980-1995 годы производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид

Y=2.251K^0.4 L^0.8. (3.18)

Производственная функция Y= F(K, L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1) при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно:

F(0, L) = F(K, 0) = 0; (3.19)

2) с ростом ресурсов выпуск растет:

; (3.20)

3) с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется:

(3.21)

4) при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет:

f(+, L) = F(K, +) = +. (3.22)

Мультипликативная ПФ задается выражением

, (3.23)

где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а₁, a₂ -коэффициенты эластичности по труду и фондам.

Если a₁>0, a₂>0, а₁ >a₂, имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающий (экстенсивный) рост.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х₀=const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид

(3.24)

или , (3.25)

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X₀, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F(K, L) = Х₀ = const, то

. (3.26)

В этом соотношении ,, поэтомуdK и dL имеют разные знаки: если dL<0, что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е. выбывший в объеме труд замещается фондами в объеме dK.

Наряду с количественным увеличением объема ресурсов важнейшим фактором роста производства служит научно-технический прогресс, проявляющийся в совершенствовании техники и технологии, повышении квалификации работающих, улучшении организации производства. Технический прогресс обычно отражают в производственных функции следующего вида:

(3.27)

где λ - константа, отражающая темп технического прогресса; t - временной фактор.

Параметр e^t представляет собой выражение временной тенденции развития производства, связанной с техническим прогрессом, совершенствованием планирования, управления и организации производства.

С учетом ограниченности и резкого повышения стоимости природных ресурсов целесообразно строить производственную функцию следующего вида:

(3.28)

где - стоимость используемых природных ресурсов.

При анализе экономических явлений с применением производственных функций возникает вопрос о целесообразности расширения масштабов производства. В этом случае анализируется величина

(3.29)

Возможны три случая:

1. Если А=1, то увеличение ресурсов в k раз приводит к увеличению объема производства также в k раз.

2. Если , то можно говорить о положительном эффекте расширения масштабов производства, т.к. увеличение ресурсов в k раз приводит к росту объемов производства более чем в k раз.

3. Если , то имеем отрицательный эффект расширения масштабов производства.

На основе производственных функций могут быть построены модели зависимости спроса от доходов:

(3.30)

где - спрос;- величина доходов населения.

Коэффициент эластичности a₁ показывает, насколько увеличится спрос при росте доходов на 1%. Коэффициент эластичности может быть и отрицательным (когда с ростом доходов населения может снизиться потребление хлеба, картофеля и т.д.).