3.1. Виды производственных функций

Производственные функции в широком смысле охватывают моделирование зависимостей, существующих между такими показателями производственной деятельности, как объем выпускаемой продукции, капитальные затраты, фондоотдача, производительность труда и т.д.

В более узком смысле под производственной функцией понимается зависимость выпуска продукции от затрат различных производственных ресурсов. В общем виде функция может быть записана в виде

(3.1)

где - выпуск продукции;

- факторы, определяющие величину выпуска продукции (затраты труда, материалов и т.д.). Зависимость между затратами различных видов ресурсов и объемом выпуска продукции должна быть выражена уравнением множественной регрессии.

При разработке ЭММ нередко исходят из предположения о линейной зависимости между затратами ресурсов и выпуском продукции. Однако предположение о линейном характере зависимости затрат и выпуска продукции является значительно упрощенным. Если по отношению к затратам материалов и сырья это предположение может быть принято, то по отношению машин это предположение не всегда может быть принято.

Построение моделей оптимального планирования, приближающихся к реальной экономической действительности, требуют углубления и уточнения связей между затратами ресурсов и выпуском продукции.

Наиболее часто в качестве нелинейной функции используется уравнение

(3.2)

Этому уравнению соответствует линейно-логарифмическая функция

(3.3)

Для каждого фактора можно определить абсолютную скорость, с которой в пределе возрастает выпуск продукции с ростом затрат данного фактора. Эта скорость определяется как частная производная выпуска продукции по затратам данного вида ресурсов: 

. (3.4)

Абсолютная скорость зависит от величины всех компонентов уравнения. Отношения частных производных для двух каких-либо факторов служат своеобразными нормами заменяемости этих ресурсов с точки зрения производства данной продукции.

Наряду с абсолютной скоростью большой интерес представляет изменение выпуска продукции при увеличении затрат ресурсов данного вида на 1%.

Для получения относительной скорости нужно величину абсолютной скорости умножить на отношение затрат ресурсов к выпуску продукции.

Так, для первого фактора относительная скорость составляет

(3.5)

Относительная скорость изменения объема выпуска продукции от изменения затрат на 1 % называется эластичностью выпуска по затратам и обозначается символом Е. Для любого i фактора выполняется условие

. (3.6)

Таким образом, для уравнения типа (3.2) эластичность выпуска продукции для каждого фактора является величиной постоянной и равна соответствующему коэффициенту уравнения регрессии. При любом объеме затрат и выпуска увеличение затрат i-го вида ресурсов на 1 % ведет к увеличению выпуска продукции на %.

Будем предполагать, что фирма производит n различных видов продукции. Обозначим через q=(q₁, ….. q_n)^T вектор выпуска, компонентами которого являются выпуски каждого конкретного вида продукции. Предположим, что для осуществления выпуска используется m видов факторов производства. Обозначим через x=(x₁, ….. x_m)^T вектор затрат факторов производства, компонентами которого являются объемы потребления каждого конкретного фактора.

Множество векторов выпуска продукции образуют так называемое пространство выпуска:

(3.7)

Множество векторов затрат факторов производства образуют так называемое пространство затрат:

(3.8)

Технологическая связь между затратами факторов производства и объемом выпуска продукции описывается с помощью производственной функции.

Функция q=f(x), которая каждому вектору затрат из пространства затрат ставит в соответствие максимальный выпуск, который может быть произведен при данных затратах, называется производственной функцией фирмы.

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме:

где A представляет собой технологическую матрицу размерами n x m.

Если в качестве независимых аргументов рассматриваются затраты, то производственную функцию называют функцией выпуска. Если в качестве независимых аргументов рассматриваются объемы выпуска, то производственную функцию называют функцией затрат. В дальнейшем для простоты выкладок мы будем предполагать, что фирма выпускает только один вид продукции.

С понятием производственной функции связано понятие предельного продукта.

Предельным продуктом i-го фактора производства (MP_i-marginal product (англ.)) называют дополнительный объем выпуска, который будет произведен при потребления каждой дополнительной единицы данного фактора:

(3.9)

Производственная функция обладает следующими свойствами.

1. C увеличением потребления какого-либо фактора значение выпуска продукции возрастает:

(3.10)

2. C увеличением объема потребления какого либо фактора скорость выпуска продукции убывает:

(3.11)

3. Производственная функция является однородной функцией своих аргументов:

(3.12)

где β представляет собой степень однородности.

Рассмотрим основные виды производственных функций:

1. Неоклассическая производственная функция (производственная функция Кобба-Дугласа):

(3.13)

Здесь величины a₁, ….. a_m представляют эластичности выпуска к изменению объема соответствующего фактора производства, А- масштабирующий множитель.

2. Производственная функция «затраты-выпуск» (функция Леонтьева):

. (3.14)

Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной единицы продукции. Величины a₁, ….. a_m представляют собой пропорции объемов потребления соответствующих факторов производства.

3. Линейная производственная функция:

. (3.15)

Данное семейство функций полезности описывает ситуацию, когда факторы производства являются полностью взаимозаменяемыми. Коэффициенты a₁,…..a_m представляют собой пропорции, в которых один фактор может быть заменен другим.

Переменные издержки касаются использования имеющихся в распоряжении фирмы факторов производства и изменяются в соответствии с объемом выпуска продукции.