35.Перша теорема двоїстості та її економічна інтерпретація.

Зв’язок між оптимальними розв’язками прямої та двоїстої задач встановлюють леми та теореми двоїстості (наведемо їх без доведень).

(основна нерівність теорії двоїстості). Якщо та- допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівністьабо.(достатня умова оптимальності). Якщота- допустимі розв’язки відповідно прямої та двоїстої задач, для яких виконується рівність, то- оптимальні розв’язки відповідних задач.

Теорема (перша теорема двоїстості). Якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв’язок, причому для оптимальних розв’язків значення цільових функцій обох задач збігаються, тобто

Якщо цільова функція однієї із задач необмежена, то спряжена задача також не має розв’язку. Слід зауважити, що коли одна із задач не має допустимого розв’язку, то двоїста до неї задача також може не мати допустимого розв’язку, тобто зворотне твердження щодо другої частини теореми в загальному випадку не виконується.

Економічний зміст першої теоремидвоїстості. Максимальний прибуток () підприємство отримує за умови виробництва продукції згідно з оптимальним планом, однак таку саму суму грошей воно може мати, реалізувавши ресурси за оптимальними цінами. За умов використання інших планів на підставі основної нерівності теорії двоїстості можна стверджувати, що прибутки від реалізації продукції завжди менші, ніж витрати на її виробництво.

36.Друга теорема двоїстості та її економічна інтерпретація.Теорема (друга теорема двоїстості для симетричних задач). Для того, щоб плани Х та У відповідних спряжених задач були оптимальними, необхідно і достатньо, щоб виконувалися умови доповнюючої нежорсткості: Економічний зміст другої теореми двоїстості стосовно оптимального плану Х*прямої задачі. Якщо для виготовлення всієї продукції в обсязі, що визначається оптимальним планомХ*, витрати одного і-го ресурсу строго менші, ніж його загальний обсяг , то відповідна оцінка такого ресурсу (компонента оптимального плану двоїстої задачі) буде дорівнювати нулю, тобто такий ресурс за даних умов для виробництва не є «цінним».

Якщо ж витрати ресурсу дорівнюють його наявному обсягові , тобто його використано повністю, то він є « цінним» для виробництва, і його оцінка буде строго більшою від нуля.

Економічне тлумачення другої теореми двоїстості щодо оптимального плану У* двоїстої задачі: у разі, коли деяке -те обмеження виконується як нерівність, тобто всі витрати на виробництво одиниці-го виду продукції перевищують її ціну, виробництво такого виду продукції є недоцільним, і в оптимальному плані прямої задачі обсяг такої продукції дорівнює нулю. Якщо витрати на виробництво -го виду продукції дорівнюють ціні одиниці продукції, то її необхідно виготовляти в обсязі, який визначає оптимальний план прямої задачі Існування двоїстих змінних уможливлює зіставлення витрат на виробництво і цін на продукцію, на підставі чого обґрунтовується висновок про доцільність чи недоцільність виробництва кожного виду продукції. Крім цього, значення двоїстої оцінки характеризує зміну значення цільової функції, що зумовлена малими змінами вільного члена відповідного обмеження. Дане твердження формулюється у вигляді такої теореми.

37.Третя теорема двоїстості та її економічна інтерпретація.

Двоїста оцінка характеризує приріст цільової функції, який зумовлений малими змінами вільного члена відповідного обмеження. Економічний зміст третьої теореми двоїстості полягає в тому, що відповідна додатна оцінка показує зростання значення цільової функції прямої задачі, якщо запас відповідного дефіцитного ресурсу збільшується на одну одиницю. Якщо деяке значення двоїстої оцінки уі в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка уі > 0, то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. Відомо (третя теорема двоїстості), що величина двоїстої оцінки показує, наскільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю. Статус ресурсів можна визначати трьома способами. Перший – підстановкою значень вектора Х* (оптимального плану виробництва) у систему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, у іншому разі – недефіцитний:

Другий спосіб – через додаткові змінні прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо більша від нуля – недефіцитний.

Третій спосіб – за допомогою двоїстих оцінок. Якщо уі > 0, то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо ж уі = 0, то і-й ресурс недефіцитний.