§4.2.5. Приведение квадратичной формы к главным осям

Теорема. (о приведении квадратичной формы к главным осям).Любую квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования переменных можно привести к каноническому виду.

Доказательство. МатрицаАквадратичной формы симметрична, а для симметричной матрицы найдется ортогональная матрицаQ такая, что матрицаQ^{- 1}AQ диагональна. Подвергнув квадратичную форму ортогональному преобразованию с матрицейQ, мы приведем ее к каноническому виду. ■

Теорема. Квадратичная форма с помощью ортогонального преобразования переменных приводится к каноническому виду, коэффициентами которого являются корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы, взятые с их кратностями.

Доказательство. Пусть квадратичная формаf некоторым ортогональным преобразованием переменных приведена к каноническому виду

Легко видеть, что ортогональное преобразование оставляет инвариантной сумму квадратов переменных, поэтому

Квадрат определителя ортогональной матрицы равен 1. А определитель матрицы преобразованной квадратичной формы отличается от определителя матрицы исходной квадратичной формы на квадрат определителя матрицы линейного преобразования. Отсюда,

. ■

Следствие. Для любой ортогональной матрицы, приводящей к диагональному виду симметрическую матрицу, на главной диагонали полученной диагональной матрицы располагаются характеристические корни симметрической матрицы, взятые с их кратностями.

Пример.Приведите к главным осям квадратичную форму

Матрица квадратичной формы имеет вид

А = .

Найдем ее характеристический многочлен

Матрица Аимеет трехкратный характеристический корень 1 и простой характеристический корень – 3. Таким образом,

–

канонический вид, к которому квадратичная форма приводится ортогональным преобразованием.

Для нахождения ортогонального преобразования, осуществляющего это приведение, необходимо найти собственные векторы линейного оператора, матрицей которого в некотором ортонормированном базисе является матрица А.Придля этого надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 1 и поэтому фундаментальная система решений состоит из трех решений. Например,

b₁= (1, 1, 0, 0),

b₂= (1, 0, 1, 0),

b₃= (-1, 0, 0, 1).

Ортогонализируя эту систему, получим

с₁ = b₁= (1, 1, 0, 0),

с₂= с₁+b₂= (,, 1, 0),

с₃=с₁+ с₃+b₃= (, , , 1).

При надо решить однородную систему линейных уравнений

Ранг системы равен 3 и поэтому фундаментальная система решений состоит из одного решения. Например, с₄= (1, -1, -1, 1).

Нормируя ортогональную систему векторов с₁,с₂,с₃,с₄, получим ортонормированную систему векторов

Таким образом, форма приводится к главным осям ортогональным преобразованием:

Следует отметить, что ответ неоднозначен.