Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.

Выберем в пространстве произвольную точку О, которую будем называть началом координат. Помести базисные вектора {i,j,k} своими началами в точку О. Через начало координат и базисные векторы проводим прямые, которые называются осями координат, причем прямая, проходящая через вектор i – ось ох (ось абсцисс), через j – оу (ось ординат), через k - ось oz (ось аппликат). Конец каждого базисного вектора отмечает на оси число 1.

Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор . Соединяющий начало координат с точкой М – радиус-вектор точки М. Вектор единственным образом разлагается по базису, т.е. существуют такие числа x,y,z что вектор = x + y + z . Координатами точки М в прямоугольной системе координат Оxyz называются координаты вектора ОМ в базисе {i,j,k}.

Для того, чтобы найчти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, нужно из координат конца вектора вычесть координаты его начала.

Направляющие косинусы вектора.

Пусть точка М(x,y,z); =

Пусть вектор а составляет с осями координат углы , , . Косинусы этих углов – направляющие косинусы вектора а.

Пусть вектор а (a_x,a_y,a_z)

a_x = Пр_i = | |cos

a_y = Пр_j = | |cos

a_z = Пр_k = | |cos

• cos = cos= cos=

т.к. =

то cos =

cos =

cos =

направляющие векторы обладают след св-вами:

1. cos²+cos²+cos²=1

2. пусть (a_x,a_y,a_z) – произвольный вектор. Требуется найти ₀ , который обладает след св-вами.

₀ | ₀ |=1

₀ = ₀ = = ₀ ( , , ) => ₀ (cos, cos, cos)