Упражнения

1. Дифференцирование является линейным оператором линейного пространства всех многочленов от одного переменного с вещественными коэффициентами степени n. Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе

а) 1, х,х², …,xⁿ; б) 1,х – с,, …,;с– вещественное число.

2. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

(1) матрица линейного оператора в некотором базисе невырождена;

(2)

(3) переводит базис в базис;

(4) –инъекция, т.е.;

(5) –сюръекция, т.е.;

(6) для существует обратный линейный оператор, т.е.для всеххизV.

3. Пусть Оij– правая декартова система координат на плоскостиR². Найдите в этом базисе матрицу линейного оператора поворотаR²на уголвокруг начала координат против часовой стрелки.

4. Пусть i, j, k – правый ортонормированный базис трехмерного евклидова пространства R³геометрических векторов. Найдите матрицу линейного оператораАх = ,гдеа– фиксированный вектор с координатамив этом базисе.

5. Найдите матрицу оператора дифференцирования в двумерном линейном пространстве, натянутом на базисные функции:

а)б).

6. Линейное пространство X является прямой суммой подпространств L₁иL₂ , - базис подпространстваL₁, – базисL₂. Найдите в базисе

а) матрицу оператора проектирования на L₁параллельноL₂;

б) матрицу оператора проектирования на L₂ параллельно L₁;

в) матрицу оператора отражения в L₁параллельноL₂.

7. Линейный оператор А, действующий в трехмерном арифметическом пространстве, переводит линейно независимые векторыв векторы, гдеа₁= 5е₁ + 3е₂ +е_3, а₂=е₁ - 3е₂ - 2е₃ а₃=е₁ + 2е₂ +е₃;

b₁= -2е₁ +е_{2 ,} b₂= -е₁ + 3е₂ , b₃=-2е₁ - 3е₂

Найдите матрицу этого линейного оператора в базисе а) ; в).

8. В базисе линейного пространства квадратных матриц порядка 2:

.

записать матрицу линейного оператора

а) транспонирования: Х ;

б) G_AB:Х АХВ, гдеАиВ – заданные матрицы;

в) F_AB :Х АХ + ХВ.

Как изменятся эти матрицы, если в базисе поменять местами матрицы:

?