Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

Определение. Точка х₀ называется точкой локального максимума(минимума) если существует окрестность О(х₀) такая, что f(x)<=f(x₀) (f(x)>=f(x₀)) при всех х О(х₀)

Значение f(x₀) – локальный максимум(минимум). Точки локальных максимумов(минимумов) называются экстремумами функций.

Необходимое условие существования экстремума.

Если в точке х₀ f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна 0 (или не существует).

Дано: в точке х₀ f(x) имеет локальный максимум.

Доказать: в этой точке f’(x)=0 или не существует

Доказательство.

Если в точке х₀ – локальный максимум, то существует О(х₀) , что f(x)<=f(x₀) для всех х О(х₀).

Выберем х так чтобы х₀+х  О(х₀).

Тогда у=f(х₀+х)-f(х₀) <= 0при любом х.

Тогда f’(x₀) = lim_x->0y/x

Если x>0, то lim_x->0+0y/x = f’(x₀+0)<=0

Если x<0, то lim_x->0-0y/x = f’(x₀-0)>=0

Если производная существует, то это возможно, когда f’(x₀+0)= f’(x₀-0)

• f’(x₀)=0

если эти односторонние пределы отличны от 0, то производная не существует.

Точки, в которых производная не существует – критические точки.

Критические точки, в которых производная равна - - стационарные точки.

Критические точки называются точками, подозрительными на экстремум. Это условие явл необходимым, но не достаточным.

33. Содержание

    • Матрицы. Линейные операции над матрицами.
    • Умножение матриц.
    • Свойства определителей
    • Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
    • Обратная матрица.
    • Ранг матрицы. Вычисление ранга.
    • Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
    • Векторы. Линейные операции над векторами.
    • Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
    • Скалярное произведение векторов
    • Векторное произведение векторов
    • Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
    • Деление отрезка в данном отношении
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
    • Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
    • Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
    • Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
    • Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
    • Расстояние от точки до прямой в пространстве.
    • Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
    • Общее уравнение прямой на плоскости
    • Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
    • Расстояние от точки до прямой на плоскости.
    • Угол между прямыми на плоскости.
    • 32. Предел последовательности и его свойства.
    • Число е.
    • Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
    • Теоремы о пределах функции.
    • Первый замечательный предел.
    • Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
    • Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
    • Свойства непрерывных функций.
    • Производная. Геометрический и механический смысл производной.
    • Дифференцирование суммы(разности) функций.
    • Дифференцирование произведения функций.
    • Дифференцирование частного двух функций.
    • Производная сложной и обратной функции.
    • Логарифмическое дифференцирование и его применение.
    • Производная функции, заданной параметрически.
    • Дифференциал. Инвариантность формы.
    • Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
    • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
    • Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
    • Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
    • Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
    • Ассимптоты графика функции.
    • Формула тейлора.