Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение. График дифференцируемой ф-ии y=f(x) называется выпусклым вниз (вогнутым) на интервале (a,b) , если для любого x, принадлежащего этому интервалу, касательная, проведенная к графику ф-ии в этой точке, лежит ниже графика этой ф-ии. Аналогично, график ф-ии называется выпуклым вверх в этом интервале, если для любого х, принадлежащего интервалу, касательная к графику ф-ии , проведенная в точке х, лежит выше графика ф-ии. Точка М₀(x₀,f(x₀)) графика ф-ии, в которой хар-р выпуклости меняется на противоположный, называется точкой перегиба.

Теорема.

Если ф-я y=f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b) и f”(x)>0 в этом интервале, то график этой ф-ии выпуклый вниз в этом интервале. Если f”(x)<0 в этом интервале, то выпуклый вверх.

Теорема.

Пусть для ф-ии y=f(x) , определенной в точке х₀ вторая производная без знака и при переходе через эту точку f”(x) меняет знак, то эта точка – точка перегиба графика ф-ии.

33. Содержание

    • Матрицы. Линейные операции над матрицами.
    • Умножение матриц.
    • Свойства определителей
    • Минор, алгебраическое дополнение, теорема лапласа.
    • Обратная матрица.
    • Ранг матрицы. Вычисление ранга.
    • Системы лау. Методы решения невырожденных систем.
    • Векторы. Линейные операции над векторами.
    • Прямоугольная система координат. Направляющие косинусы вектора.
    • Скалярное произведение векторов
    • Векторное произведение векторов
    • Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.
    • Деление отрезка в данном отношении
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.
    • Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.
    • Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
    • Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.
    • Параметрическое и каноническое уравнение прямой.
    • Общее уравнение прямой в пространстве. Приведение к каноническому виду.
    • Расстояние от точки до прямой в пространстве.
    • Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
    • Общее уравнение прямой на плоскости
    • Уравнение прямой в отрезках и с угловым коэффициентом.
    • Расстояние от точки до прямой на плоскости.
    • Угол между прямыми на плоскости.
    • 32. Предел последовательности и его свойства.
    • Число е.
    • Предел функции в точке, бесконечности. Односторонние пределы.
    • Теоремы о пределах функции.
    • Первый замечательный предел.
    • Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
    • Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
    • Свойства непрерывных функций.
    • Производная. Геометрический и механический смысл производной.
    • Дифференцирование суммы(разности) функций.
    • Дифференцирование произведения функций.
    • Дифференцирование частного двух функций.
    • Производная сложной и обратной функции.
    • Логарифмическое дифференцирование и его применение.
    • Производная функции, заданной параметрически.
    • Дифференциал. Инвариантность формы.
    • Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
    • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.
    • Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.
    • Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.
    • Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
    • Ассимптоты графика функции.
    • Формула тейлора.