Производная функции, заданной параметрически.

Пусть ф-я y = y(x) задана параметрически

y(x):{ x= (t)

y=(t) t[a,b]

требуется найти y’(x)

предположим, что ф-я x=(t) имеет обратную. t = ^-1(x), тогда y = (^-1(x)) – сложная ф-я y=(t)

тогда: y’(x) = ’(t)*t’(x)

но t’(x) = 1/x’(t) - производная обратной ф-ии

• y’(x) = ’(t)/x’(t) = ’(t) / ’(t)

т.о. производная y’(x) будет задана параметрически

y’(x): {x=(t)

y’=’(t) / ’(t)

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Y=LNX И Y=A^X

y = log_ax

y’ = lim_x->0y/x = = = = = = 1/xlna

( )’ =

В частности, (lnx)’ = 1/x

y = a^x

lny = xlna дифференцируем

y’*1/y = lna => y’=ylna

т.е (a^x)’=a^xlna

в частности, (e^x)’ = e^x

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=COSX И Y=ARCTGX

y = arctgx x =tgy

1+tg² = (1+sin²)/cos² = 1/cos²

y’ = 1/x_y’ = 1/(tgy)’ = cos²y = 1/ (1/cos²y) = 1/(1+tg²y) =

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=SINX И Y=ARCCTGX

y=sinx

(sinx)’ = = = = cosx = cosx

y=arcctgx

y’=-1/(1+x²)

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=CTGX И Y=ARCSINX

(ctgx)’ = (cox/sinx)’ = ((-sinx)sinx – cosxcosx)/sin²x = -1/sin²x

y=arcsinx x=siny

y’=1/x_y’ = 1/cosy = 1/ = 1/

33. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИЙ Y=TGX И Y=ARCCOSX

(tgx)’ = (sinx/cosx)’ = (cosxcosx – (-sinx)sinx) / cos²x = 1/cos²x

(arccosx)’ = -1/