Введение

Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют большой теоретический и практический интерес, являются фундаментом для многих других разделов высшей математики, например, для уравнений с частными производными, уравнений математической физики, вариационного исчисления, а также - базой для глубокого изучения механики, физики и других естественных наук.

Перечислим основные типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными; однородные уравнения; обобщенные однородные уравнения; линейные дифференциальные уравнения; уравнения Бернулли; уравнения Риккати; уравнения Якоби; уравнения в полных дифференциалах.

Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то следует попытаться найти интегрирующий множитель, чтобы свести его к уравнению в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель - это такая функция от переменных и , умножив на которую, дифференциальное уравнение первого порядка

становится уравнением в полных дифференциалах:

.

Цель данной курсовой работы заключается в исследовании интегрирующего множителя и его свойств.

Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:

1. изучить основные понятия теории обыкновенные дифференциальные уравнения;

2. рассмотреть уравнения в полных дифференциалах;

3. изучить понятие интегрирующего множителя и исследовать общие сведения о нем;

4. рассмотреть простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя.

Объектом курсовой работы являются дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах.

Предметом исследования является понятие интегрирующего множителя и простейшие случаи его нахождения.

Данная курсовая работа состоит из введения, двух глав и заключения.

Первая глава содержит сведения о теории обыкновенных дифференциальных уравнений (рассмотрено ОДУ, даны определения порядку и решению ОДУ), а так же изучены теоретические сведения об уравнениях в полных дифференциалах (вид уравнения в полных дифференциалах, его признак и построение общего интеграла).

Роль инетегрирующего множителя для нахождения общего интеграла и его общие свойства исселедуются во второй главе (теоремы о существовании, о неединственности и об общем виде интегрирующего множителя). Данная глава так же содержит один общий способ нахождения интегрирующего множителя, основанный на использовании его свойств изложенных выше, и простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя (интегрирующий множитель зависящий только от или , либо вида и др.).

Глава 1. Основные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах