1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение вида (1.1) представляет пример выше описанного уравнения:

. (1.1)

Если же входящая в дифференциальное уравнение неизвестная функция зависит от нескольких независимых аргументов, то оно называется уравнением в частных производных. Примером служит уравнение

, (1.2)

которое содержит неизвестную функцию .

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок входящей в уравнение производной. Так дифференциальные уравнения (1.1) и (1.2) - это уравнения второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Например, легко проверить, что функция является решение дифференциального уравнения . Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка можно представить в виде:

(1.3)

Содержит неизвестную переменную , неизвестную функцию и её производные , , …, .

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Уравнение считается проинтегрированным, если его решение найдено в явном виде или определяется неявно уравнением вида независимо от того, удается ли разрешить это уравнение относительно неизвестной функции или нет. Уравнение , которое определяет решение дифференциального уравнения, называется интегралом этого дифференциального уравнения.