2.5 Интегрирующий множитель и особые решения

Зная интегрирующий множитель, мы можем найти не только общий интеграл уравнения, но также и все особые решения. Действительно, пусть дано уравнение (2.29):

и известно, что есть его интегрирующий множитель, так что

.

Тогда мы имеем:

. (2.61)

Поэтому данное уравнение можно переписать так:

. (2.62)

Это уравнение распадается на два:

. (2.63)

Первое из них приводит к общему интегралу , а второе может привести к особому решению. Итак, особым решением уравнения может быть только такое решение, вдоль которого интегрирующий множитель обращается в бесконечность.

Отсюда получаем простое правило нахождения особых решений:

1) найти линии, вдоль которых обращается в ;

2) проверить, являются ли найденные линии интегральными кривыми, т.е. представляют ли они рения уравнений;

3) проверить, содержится ли найденные решения в общем решении или нет.

Т.е. из найденных решений, которые не содержаться в общем решении, и будут особыми решениями. Если окажется, что не обращается в бесконечность (или обращается в бесконечность лишь в отдельных точках), то уравнение не имеет особых решений. Отсюда, в частности, опять получаем, что линейное уравнение , где - непрерывная функция, не имеет особых решений, так как его интегрирующий множитель (2.54) не обращается в бесконечность в промежутке непрерывности .

Исследуем при помощи интегрирующего множителя вопрос об особых решениях уравнения с разделяющими переменными и однородного уравнения.