Заключение

Дифференциальные уравнения выступают математическими моделями различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др. Они представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.

Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Уравнение в полных дифференциалах является одним из часто встречающихся дифференциальных уравнений. Данные уравнения всегда интегрируется в квадратурах. Но если уравнение не в полных дифференциалах, то его можно привести к виду уравнения в полных дифференциалах. Для это необходимо найти функцию , после умножения на которую исходное уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах. Такая функция называется интегрирующим множителем.

При соблюдении необходимых условий, гарантирующих существование общего интеграла существует и интегрирующий множитель (теорема о существовании интегрирующего множителя).

Общий интеграл имеет бесчисленное множество интегрирующих множителей. Это свойство «неединственности» интегрирующего множителя и наличия зависимости между интегралами одного и того же уравнения имеют место и для всякого уравнения, у которого обеспечено существование общего интеграла (теорема о неединственности интегрирующего множителя).

Опираясь на поставленные задачи, в данной курсовой работе так же были рассмотрены простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя:

1. случай интегрирующего множителя, зависящего только от ;

2. случай интегрирующего множителя, зависящего только от ;

3. случай интегрирующего множителя вида ;

4. интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными;

5. интегрирующий множитель и особые решения.

Последний исследуемый случай говорит о том, что зная интегрирующий множитель, можем найти не только общий интеграл уравнения, но также и все особые решения. Особым решением уравнения может быть только такое решение, вдоль которого интегрирующий множитель обращается в бесконечность.

интегрирующий множитель дифференциал

Список использованной литературы

1. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд. - М. : Наука, 1971. - 240 с.

2. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. - М.: Высшая школа, 1981, т. 1. - 687 с..

3. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. - СПб : Издательство Ленинградского Университета, 1955. - 650 с.

4. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа / Г.М. Фихтенгольц. - Часть 1. 6-е изд., стер. - СПб: Издательство «Лань», 2005. - 448с.

5. Ильин, В.А. Высшая математика: учебник для вузов / В.А. Ильин, А.В. Куркина. - М.: Проспект, 2002. - 592 с.

6. Бугров Я.С. Высшая математика: учебник для вузов: в 3 т. / Я.С. Бугров, С.М. Никольский; под ред. В.А. Садовничего. -- 6-е изд., стереотип. -- М.: Дрофа, 2004.

7. Дифференциальные уравнения первого порядка [Электронный ресурс] / Высшая математика, Александр Емелин. - М.: 2010-2014. - Рыжим доступа: http://mathprofi.ru/differencialnye_uravnenija_primery_reshenii.html. - Дата доступа: 02.05.2014.