logo
Интегрирующий множитель

2.1 Общая теория

Уравнение в полных дифференциалах всегда интегрируется в квадратурах. Поэтому естественно возникает вопрос: нельзя ли уравнение не в полных дифференциалах привести к виду уравнения в полных дифференциалах? Оказывается, что во многих случаях это можно сделать. А именно, удается найти функцию , после умножения на которую уравнение

(2.1)

преобразуется в уравнение

(2.2)

в полных дифференциалах, т.е.

. (2.3)

Такая функция называется интегрирующим множителем, а функция - соответствующим ему интегралом уравнения (2.1). Общий интеграл уравнения (2.1) дается равенством

. (2.4)

Применяя признак полного дифференциала к уравнению (2.2), находим, что интегрирующий множитель должен удовлетворять уравнению

. (2.5)

Запишем это уравнение в развернутом виде:

,

. (2.6)

Это - уравнение с частными производными с известной функцией .

Тем самым мы выясняли роль интегрирующего множителя для получения уравнения в полных дифференциалах. Докажем, что при некоторых условиях, гарантирующих существование общего интеграла существует и интегрирующий множитель.

Теорема (о существовании интегрирующего множителя). Если уравнение

(2.7)

(2.8)

в некоторой области , не содержащей внутри себя точек, где и обращаются одновременно в нуль, причем функция имеет и интегрирующий множитель.

Действительно, так как есть общий интеграл уравнения (2.7), то в силу этого уравнения, т.е. мы имеем:

, (2.9)

где определяется уравнением (2.7), так что и удовлетворяют системе уравнений:

(2.10)

Эта однородная система имеет ненулевое решение (ибо , как дифференциал независимой переменной произволен). Поэтому

(2.11)

. (2.12)

, . (2.13)

, (2.14)

т.е. левая часть уравнения (2.7) становиться полным дифференциалом после умножения на функцию , определяемую равенством (2.12). Следовательно, есть интегрирующий множитель уравнения (2.7).

Пример 1. Дано уравнение

. (2.15)

Интегрируя это линейное уравнение, получаем общий интеграл в виде

. (2.16)

Отсюда, согласно (2.12):

. (2.17)

С другой стороны, наше уравнение есть однородное. Поэтому оно имеет интегрирующий множитель

, (2.18)

а соответствующим ему общим интегралом будет

. (2.19)

В рассмотренном примере мы нашли два интегрирующих множителя для одного и того же уравнения. Кроме того, бросается в глаза связь между найденными интегралами: . Эти свойства «неединственности» интегрирующего множителя и наличия зависимости между интегралами одного и того же уравнения имеют место и для всякого уравнения, у которого обеспечено существование общего интеграла.

Теорема (о неединственности интегрирующего множителя). Если есть интегрирующий множитель уравнения (2.1), а соответствующий ему интеграл, то

, (2.20)

где - любая непрерывная функция тоже является интегрирующим множителем уравнения (2.1). Действительно, умножая левую часть уравнения (2.1) на функцию (2.20) получаем:

. (2.21)

Левая часть уравнения стала полным дифференциалом функции , следовательно, функция , определяемая формулой (2.20), есть интегрирующий множитель уравнения (2.1). Так как функция произвольная, то мы имеем бесчисленное множество интегрирующих множителей.

Возникает вопрос: содержатся ли все интегрирующие множители в формуле (2.20)?

Заметим, что так как каждому интегралу уравнения (2.1) соответствует некоторый интегрирующий множитель и обратно - каждому интегрирующему множителю, по самому определению, соответствует некоторый интеграл уравнения (2.1), то естественно ожидать, что зависимость между интегрирующими множителями есть следствие зависимости между интегралами уравнения (2.1).

Теорема (об общем виде интегрирующего множителя и её следствие). Два любых интегрирующих множителя и уравнения (2.1): , связаны соотношением (2.20):

.

Пусть и - интегралы, соответствующие интегрирующим множителям и , т.е. имеем равенства:

(2.22)

Деля второе из этих равенств на первое, получаем:

. (2.23)

Так как, , причем Ф - непрерывно дифференцируемая функция, то

,

откуда ясно, что и связанны соотношением (2.20). Теперь мы можем утверждать, что все интегрирующие множители уравнения (2.1) содержатся в формуле (2.20).

Заметим, что в этой формуле мы можем заменить интеграл любым интегралом , ибо любой интеграл уравнения является функцией от , а функцию всё равно произвольна, так что будет произвольной функцией от .

Следствие. Если и - два существенно различных интегрирующих множителя уравнения (2.1), то равенство

(2.24)

является общим интегралом уравнения (2.1).

В самом деле, согласно формуле (2.20), мы имеем:

. (2.25)

Равенство есть общий интеграл уравнения (2.1), следовательно, и (2.24) есть общий интеграл этого уравнения.

В частности, если уравнение (2.1) есть уравнение в полных дифференциалах и известен интегрирующий множитель , отличный от постоянной, то есть общий интеграл этого уравнения, так как за можно взять 1. Например, если уравнение (2.1):

однородное и в полных дифференциалах, то его общий интеграл дается равенством

, (2.26)

если только левая часть этого равенства не обращается тождественно в постоянную величину.

Пример 2. Дано уравнение

. (2.27)

, , поэтому - общий интеграл.

Пример 3.

. (2.28)

Это уравнение однородное и в полных дифференциалах. Поэтому есть общий интеграл.