2.2 Один общий способ нахождения интегрирующего множителя

Предположим, что левую часть уравнения

(2.29)

можно разбить на две группы:

, (2.30)

причем так, чтобы для каждой группы можно было легко найти интегрирующий множитель. Пусть и - эти множители, а и - соответствующие им интегралы. Тогда, согласно (2.20) из п.2.1, все интегрирующие множители первой группы содержаться в формуле

, (2.31)

а все интегрирующие множители второй группы - в формуле

. (2.32)

Если удастся выбрать произвольные функции и так, чтобы

 (2.33)

(причем одну из функций и можно полагать равной единице), тогда будет интегрирующим множителем всего уравнения (2.29). Заметим, что группы, на которые мы разбиваем левую часть уравнения (2.29), не обязательно должны быть полными, т.е. содержать и , и .

Пример 1. Рассмотрим уравнение

. (2.34)

Разобьем левую часть на две группы:

. (2.35)

Находим для каждой группы интегрирующие множители и соответствующие им интегралы:

, ; , . (2.36)

Условие (2.33) принимает вид

. (2.37)

Возьмем , , тогда . Следовательно, . Умножая данное уравнение на найденный интегрирующий множитель и используя формулу (1.26) из п.1.3, полагая в ней , найдем общий интеграл:

, . (2.38)

Пример 2. Дано уравнение

. (2.39)

Разобьем левую часть на две группы:

. (2.40)

Для первой группы, состоящей из одного слагаемого, очевидно, интегрирующий множитель равен 1, ибо есть полный дифференциал от , общим решением уравнения является или , так что мы имеем , . Для второй группы легко найти интегрирующий множитель, так как соответствующее её уравнение есть уравнение с разделяющими переменными. Мы имеем здесь , . Составим соотношение (2.33). Имеем:

. (2.41)

Чтобы правая часть была функцией только одного , возьмем . Тогда . Умножая уравнение (2.39) на и используя формулу (1.27) из п.1.3, полагая в ней , , найдем общий интеграл:

. (2.42)